Question

7．如图直线l₁：y=-2x+4与两坐标轴相交于点A和点B，与直线l₂：y=x+m相交于点P（1，b）．
（1）关于x的不等式-2x+4≥x+m的解集为x≤1．方程组$\left\{\begin{array}{l}{y=-2x+4}\\{y=x+m}\end{array}\right.$的解为$\left\{\begin{array}{l}{x=1}\\{y=2}\end{array}\right.$．
（2）若直线l₂：y=x+m通过平移后经过点A，求平移后的直线解析式．

Answer 1

分析 （1）由图象可以知道，当x≤1时，直线y=-2x+4在y=x+m的上方，由此得出关于x的不等式-2x+4≥x+m的解集；将P（1，b）代入y=-2x+4，求出b的值，方程组$\left\{\begin{array}{l}{y=-2x+4}\\{y=x+m}\end{array}\right.$的解即为直线l₁：y=-2x+4与直线l₂：y=x+m的交点坐标；
（2）将P点坐标代入y=x+m，求出直线l₂的解析式，再根据平移前后k的值不变，设出平移后的直线解析式，将A点坐标代入即可求解．

解答 解：（1）由图象可以知道，当x≤1时，直线y=-2x+4在y=x+m的上方，
所以关于x的不等式-2x+4≥x+m的解集为x≤1；
将P（1，b）代入y=-2x+4，
得b=-2+4=2，即P（1，2），
所以方程组$\left\{\begin{array}{l}{y=-2x+4}\\{y=x+m}\end{array}\right.$的解为$\left\{\begin{array}{l}{x=1}\\{y=2}\end{array}\right.$．
故答案为x≤1；$\left\{\begin{array}{l}{x=1}\\{y=2}\end{array}\right.$；

（2）将P点坐标代入y=x+m，
得2=1+m，解得m=1，
则直线l₂的解析式为y=x+1．
设出平移后的直线解析式为y=x+n，
∵直线l₁：y=-2x+4与x轴相交于点A，
∴A（2，0），
将A点坐标代入，得0=2+n，
解得n=-2，
∴平移后的直线解析式为y=x-2．

点评 本题考查了一次函数与二元一次方程组：方程组的解就是使方程组中两个方程同时成立的一对未知数的值，而这一对未知数的值也同时满足两个相应的一次函数式，因此方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标．也考查了一次函数与一元一次不等式，一次函数图象与几何变换．