已知O为坐标原点.抛物线y1=ax2+bx+c与x轴相交于点A(x1.0).B(x2.0).与y轴交于点C.且O.C两点间的距离为3.x1•x2＜0.|x1|+|x2|=4.点A.C在直线y2=-3x+t上．(1)求点C的坐标,(2)将抛物线y1向左平移n个单位.记平移后的抛物线图象y随着x的增大而增大的部分为P.直线y2向下平移n个单位.当平移后的直线与P有公共� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

12．已知O为坐标原点，抛物线y₁=ax²+bx+c（a≠0）与x轴相交于点A（x₁，0），B（x₂，0），与y轴交于点C，且O，C两点间的距离为3，x₁•x₂＜0，|x₁|+|x₂|=4，点A，C在直线y₂=-3x+t上．
（1）求点C的坐标；
（2）将抛物线y₁向左平移n（n＞0）个单位，记平移后的抛物线图象y随着x的增大而增大的部分为P，直线y₂向下平移n个单位，当平移后的直线与P有公共点时，求n²-4n的最小值．

分析（1）利用y轴上点的坐标性质表示出C点坐标，再利用O，C两点间的距离为3求出即可；
（2）分别利用①若C（0，3），即c=3，以及②若C（0，-3），即c=-3，得出A，B点坐标，进而求出函数解析式，然后由①得出y₁向左平移n个单位后，则解析式为：y₃=-（x+1+n）²+4，进而求出平移后的直线与P有公共点时得出n的取值范围，由②y₁向左平移n个单位后，则解析式为：y₃=（x-1+n）²-4，进而求出平移后的直线与P有公共点时得出n的取值范围，进而利用配方法求出函数最值．

解答解：（1）令x=0，则y=c，故C（0，c），
∵OC的距离为3，
∴|c|=3，即c=±3，
∴C（0，3）或（0，-3）；

（2）∵x₁x₂＜0，
∴x₁，x₂异号，
①若C（0，3），即c=3，把C（0，3）代入y₂=-3x+t，则0+t=3，即t=3，
∴y₂=-3x+3，
把A（x₁，0）代入y₂=-3x+3，则-3x₁+3=0，即x₁=1，
∴A（1，0），
∵x₁，x₂异号，x₁=1＞0，
∴x₂＜0，
∵|x₁|+|x₂|=4，
∴1-x₂=4，
解得：x₂=-3，
则B（-3，0），
代入y₁=ax²+bx+3得，$\left\{\begin{array}{l}{a+b+3=0}\\{9a-3b+3=0}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=-1}\\{b=-2}\end{array}\right.$，
∴y₁=-x²-2x+3=-（x+1）²+4，
则当x≤-1时，y随x增大而增大；
y₁向左平移n个单位后，则解析式为：y₃=-（x+1+n）²+4，则当x≤-1-n时，y随x增大而增大，
y₂向下平移n个单位后，则解析式为：y₄=-3x+3-n，
要使平移后直线与P有公共点，则当x=-1-n，y₃≥y₄，
即-（-1-n+1+n）²+4≥-3（-1-n）+3-n，解得：n≤-1，
∵n＞0，
∴n≤-1不符合条件，应舍去；
②若C（0，-3），即c=-3，把C（0，-3）代入y₂=-3x+t，则0+t=-3，即t=-3，
∴y₂=-3x-3，
把A（x₁，0），代入y₂=-3x-3，则-3x₁-3=0，即x₁=-1，
∴A（-1，0），
∵x₁，x₂异号，x₁=-1＜0，
∴x₂＞0，
∵|x₁|+|x₂|=4，
∴1+x₂=4，解得：x₂=3，则B（3，0），
代入y₁=ax²+bx+3得，$\left\{\begin{array}{l}{a-b-3=0}\\{9a+3b-3=0}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=1}\\{b=-2}\end{array}\right.$，
∴y₁=x²-2x-3=（x-1）²-4，
则当x≥1时，y随x增大而增大，
y₁向左平移n个单位后，则解析式为：y₃=（x-1+n）²-4，
则当x≥1-n时，y随x增大而增大，
y₂向下平移n个单位后，则解析式为：y₄=-3x-3-n，
要使平移后直线与P有公共点，则当x=1-n，y₃≤y₄，
即（1-n-1+n）²-4≤-3（1-n）-3-n，
解得：n≥1，
综上所述：n≥1，n²-4n=（n-2）²-4，
∴当n=2时，2n²-5n的最小值为：-4．