Question

15．阅读下面材料：
小伟遇到这样一个问题：如图1，在△ABC（其中∠BAC是一个可以变化的角）中，AB=2，AC=4，以BC为边在BC的下方作等边△PBC，求AP的最大值．

小伟是这样思考的：利用变换和等边三角形将边的位置重新组合．他的方法是以点B为旋转中心将△ABP逆时针旋转60°得到△A′BC，连接A′A，当点A落在A′C上时，此题可解（如图2）．
（1）请你回答：AP的最大值是6．
（2）参考小伟同学思考问题的方法，解决下列问题：
如图3，等腰Rt△ABC．边AB=4，P为△ABC内部一点，请写出求AP+BP+CP的最小值长的解题思路．
提示：要解决AP+BP+CP的最小值问题，可仿照题目给出的做法．把△ABP绕B点逆时针旋转60，得到△A′BP′．
①请画出旋转后的图形
②请写出求AP+BP+CP的最小值的解题思路（结果可以不化简）．

Answer 1

分析 （1）由旋转得到△A′BC，有△A′BA是等边三角形，当点A′A、C三点共线时，A′C=AA′+AC，最大即可；
（2）由旋转得到结论PA+PB+PC=P₁A₁+P₁B+PC，只有，A₁、P₁、P、C四点共线时，（P₁A+P₁B+PC）最短，即线段A₁C最短，根据勾股定理，即可．

解答 解：（1）∵△ABP逆时针旋转60°得到△A′BC，
∴∠A′BA=60°，A′B=AB，AP=A′C
∴△A′BA是等边三角形，
∴A′A=AB=BA′=2，
在△AA′C中，A′C＜AA′+AC，即AP＜6，
则当点A′A、C三点共线时，A′C=AA′+AC，
即AP=6，
即AP的最大值是：6；
故答案是：6．
（2）①旋转后的图形如图1；

②如图2，

∵Rt△ABC是等腰三角形，∴AB=BC．
以B为中心，将△APB逆时针旋转60°得到△A₁P₁B．则A₁B=AB=BC=4，PA=P₁A₁，PB=P₁B，
∴PA+PB+PC=P₁A₁+P₁B+PC．
∵当A₁、P₁、P、C四点共线时，（P₁A+P₁B+PC）最短，即线段A₁C最短，
∴A₁C=PA+PB+PC，
∴A₁C长度即为所求．
过A₁作A₁D⊥CB延长线于D．
∵∠A₁BA=60°（由旋转可知），
∴∠A₁BD=30°．
∵A1B=4，
∴A₁D=2，BD=2$\sqrt{3}$
∴CD=4+2$\sqrt{3}$；
在Rt△A₁DC中，A₁C=$\sqrt{{A}_{1}{D}^{2}+D{C}^{2}}$=$\sqrt{{2}^{2}+（4+2\sqrt{3}）^{2}}$=2$\sqrt{2}$+2$\sqrt{6}$．

点评 此题是几何变换综合题，主要考查了图形的旋转的性质，画出图形是解本题的关键，也是难点．