Question

如图，在等边△ABC中，∠BAC、∠ABC的平分线交于点O，MD、NE分别垂直平分OA、OB，垂足分别为D、E．求证：AM=MN=NB．

Answer 1

考点：线段垂直平分线的性质,角平分线的性质,等边三角形的性质

专题：证明题

分析：首先连接OM，ON，由在等边△ABC中，∠BAC、∠ABC的平分线交于点O，可得∠OAM=∠OBN=30°，又由MD、NE分别垂直平分OA、OB，根据线段垂直平分线的性质，可得AM=OM，AN=ON，继而证得△OMN是等边三角形，继而证得AM=MN=NB．

解答：证明：连接OM，ON，
∵在等边△ABC中，∠BAC、∠ABC的平分线交于点O，
∴∠OAM=∠OBN=30°，
∵MD、NE分别垂直平分OA、OB，
∴OM=AM，ON=NB，
∴∠AOM=∠OAM=30°，∠BON=∠OBN=30°，
∴∠OMN=∠ONM=60°，
∴△OMN是等边三角形，
∴OM=ON=MN，
∴AM=MN=NB．

点评：此题考查了线段垂直平分线的性质以及等边三角形的判定与性质．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用．