Question

14．如图，五边形DEFGH是正五边形，⊙O是正五边形DEFGH的外接圆，过点D作⊙O的切线，与GH、FE的延长线交分别于点B和C，延长HG、EF相交于点A．
（1）求证：△AGF是等腰三角形；
（2）求证：点G，F分别是线段AB、AC的中点；
（3）若正五边形DEFGH周长是10cm，求△ABC的周长．

Answer 1

分析 （1）由五边形DEFGH是正五边形，求出五个内角度数，以及外角度数，进而利用等角对等边得到AG=AF，即可得证；
（2）连接OD，OE，OH，DG，由BC为圆O的切线，得到OD垂直于BC，得到一对直角相等，利用SSS得到三角形OHD与三角形OED全等，利用全等三角形对应角相等得到∠ODH=∠ODE=54°，进而得到∠B=∠C=72°，利用SSS得到三角形GBD与三角形AGF全等，利用全等三角形对应边相等得到GB=AG，即G为AB的中点，同理F为AC中点；
（3）由五边形周长及（1）的结论求出HD，GH，BD的长，设GB=xcm，由（2）得到△DHB∽△GBD，利用相似三角形对应边成比例列出比例式，求出x的值，即可确定出三角形ABC周长．

解答 （1）证明：∵五边形DEFGH是正五边形，
∴∠HDE=∠DEF=∠EFG=∠FGH=∠GHD=108°，
∴∠BHD=∠CED=∠AGF=∠AFG=72°，
∴AG=AF，
∴△AGF是等腰三角形；
（2）证明：连接OD、OE、OH、DG，
∵BC是⊙O的切线，
∴OD⊥BC，
∴∠BFO=∠CFO=90°，
在△OHD与△OED中，
$\left\{\begin{array}{l}{OH=OD}\\{OD=OE}\\{HD=HE}\end{array}\right.$，
∴△OHD≌△OED（SSS），
∴∠ODH=∠ODE=54°，
∴∠HDB=∠EDC=36°，
∴∠B=∠C=72°，
∴BD=DH=DE=DC，
∴△GBD≌△AGF，
∴GB=AG，
∴点G是线段AB的中点，同理点F是线段AC的中点；
（3）解：∵五边形DEFGH周长是10cm，由（1）知BD=DH=GH=2cm，
设GB=xcm，
由（2）知，△DHB∽△GBD，
∴$\frac{DH}{GB}$=$\frac{BH}{BD}$，即$\frac{2}{x}$=$\frac{x-2}{2}$，
整理得：x²-2x-4=0，
解得：x=1+$\sqrt{5}$（负值舍去），
由（1）和（2）知△ABC的周长=4GB+2BD=4（1+$\sqrt{5}$）+4=8+4$\sqrt{5}$，
则△ABC的周长是（8+4$\sqrt{5}$）cm．

点评 此题属于圆综合题，涉及的知识有：五边形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握性质是解本题的关键．