Question

12．如图，已知抛物线y=-x²+bx+c与x轴的一个交点为A（-1，0），对称轴为直线x=1．
（1）求该抛物线的表达式及顶点C的坐标；
（2）设对称轴交x轴于点M，连接AC，CM，请在x轴的正半轴上找一点D，使△ACM与△CMD相似但不全等，求出点D的坐标．

Answer 1

分析 （1）由抛物线的对称轴求出b，代入点A求出c即可；
（2）根据题意分析出点D应在M右侧，且MD和CM是对应边即可求解．

解答 解：（1）抛物线y=-x²+bx+c，对称轴为直线x=1，
可得：$\frac{b}{2}$=1，
解得：b=2，
把A（-1，0）代入：y=-x²+2x+c，
解得：c=3，
∴y=-x²+2x+3，
∵y=-x²+2x+3=-（x-1）²+4，
∴顶点C（1，4）；
（2）由x轴的正半轴上一点D，使△ACM与△CMD相似但不全等，
可知点D应在M右侧，且MD和CM是对应边；
如图1，

设点D（m，0），
则DM=m-1，CM=4，AM=2，
∵△ACM∽△CDM，
∴$\frac{AM}{CM}=\frac{CM}{DM}$，
∴$\frac{2}{4}=\frac{4}{DM}$，
解得：DM=8，
∴D（9，0）．

点评 此题主要考查抛物线与坐标轴的交点问题，会运用对称轴和图象上的点求抛物线解析式，会合理分析相似三角形求出点的坐标是解题的关键．