Question

7．如图，在Rt△ABC中，△ACB=90°，D是AB边上的一点，以BD为直径的⊙O与AC相切于点E，连接DE并延长，与BC的延长线交于点F．
（1）求证：BD=BF；
（2）若BC=6，AB=12，求⊙O的面积．

Answer 1

分析 （1）连接OE，由AC是⊙O的切线，得OE⊥AC，再根据题意得OE∥BF，则∠OED=∠F，OD=OE，从而得出∠F=∠BDF，即BD=NF；
（2）设⊙O的半径为r，由OE∥BF，可证明△AOE∽△ABC，根据相似三角形的性质得到$\frac{AO}{AB}=\frac{OE}{BC}$，即可求得r，进而得出⊙O的面积．

解答 （1）证明：连接OE，∵AC是⊙O的切线，
∴OE⊥AC
又∵∠ACB=90°，
∴OE∥BF，
∴∠OED=∠F，
∵OD=OE，
∴∠OED=∠BDF，
∴∠F=∠BDF，
即BD=BF；

（2）解：设⊙O的半径为r，则AO=12-r，
∵OE∥BF，
∴△AOE∽△ABC，
∴$\frac{AO}{AB}=\frac{OE}{BC}$，即$\frac{12-r}{12}=\frac{r}{6}$，
解得r=4，
∴S_⊙O=4²π=16π．

点评 本题考查了切线的性质，相似三角形的判定和性质，本题涉及的知识点：两直线平行，等腰三角形的判定、三角形相似、圆的面积．