Question

3．如图，△ABC中，D是BA边上一点，AM是∠BAC的角平分线，交CD于N，AD=4，BD=5，AC=6，则AM：AN=2：3．

Answer 1

分析 过C作CQ∥AM交BA延长线于Q，过M作MP∥CD交AB于P，根据角平分线性质得出$\frac{AB}{AC}$=$\frac{BM}{CM}$=$\frac{9}{6}$，根据平行线得出$\frac{BM}{CM}$=$\frac{BP}{DP}$=$\frac{3}{2}$，求出PD长，即可得出答案．

解答 解：
过C作CQ∥AM交BA延长线于Q，过M作MP∥CD交AB于P，
∵CQ∥AM，
∴∠Q=∠BAM，∠CAM=∠ACQ，
∵AM平分∠BAC，
∴∠BAM=∠CAM，
∴∠Q=∠ACQ，
∵AC=AQ，
∵AM∥CQ，
∴$\frac{AB}{AQ}$=$\frac{BM}{CM}$，
∴$\frac{AB}{AC}$=$\frac{BM}{CM}$，
∵AD=4，BD=5，AB=4+5=9，AC=6，
∴$\frac{BM}{CM}$=$\frac{9}{6}$=$\frac{3}{2}$，
∵MP∥CD，
∴$\frac{BP}{PD}$=$\frac{BM}{CM}$=$\frac{3}{2}$，
∵BD=5，
∴BP=3，PD=2，
∵CD∥PM，
∴△ADN∽△APM，
∴$\frac{AN}{AM}$=$\frac{AD}{AP}$=$\frac{4}{4+2}$=$\frac{2}{3}$，
故答案为：2：3．

点评 本题考查了平行线分线段成比例定理和相似三角形的性质和判定，能正确作出辅助线和得出比例式是解此题的关键．