Question

17．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AE=2EB，AD=2，BC=5，EF∥DC，交BC于点F，连接AF．
（1）求CF的长；
（2）若∠BFE=∠FAB，求AB的长．

Answer 1

分析 （1）作AG∥CD交BC于点G，根据平行四边形的性质可知CG=AD=2，由EF∥AG，AE=2EB，利用平行线分线段成比例定理可求出FG=2，CF=FG+GC即可求出结果；
（2）先证明△BFE∽△BAF，得到$\frac{BE}{BF}=\frac{BF}{AB}$，由BE=$\frac{1}{3}AB$和BF=1可求出AB．

解答 解：（1）作AG∥CD交BC于点G，
∵AD∥BC，
∴四边形AGCD是平行四边形，
∴GC=AD，
∵AD=2，
∴GC=2，
∵BC=5，
∴BG=BC-GC=5-2=3，
∵EF∥DC，AG∥CD，
∴EF∥AG，
∴$\frac{FG}{BF}=\frac{AE}{EB}$，
∴$\frac{FG}{BG}=\frac{AE}{AB}$，
∵AE=2EB，
∴$\frac{AE}{AB}=\frac{2}{3}$，
∴$\frac{FG}{BG}=\frac{2}{3}$，
∵BG=3，
∴FG=2，
∴CF=FG+GC=2+2=4；
（2）∵∠BFE=∠FAB，∠B=∠B，
∴△BFE∽△BAF，
∴$\frac{BE}{BF}=\frac{BF}{AB}$，
∴AB•BE=BF²，
∴AB•$\frac{1}{3}$AB=BF²，
∵BF=BC-FG=5-4=1，
∴AB=$\sqrt{3}$．

点评 本题主要考查了梯形的性质、平行四边形的判定与性质、平行线分线段成比例定理以及相似三角形的判定与性质，作AG∥CD交BC于点G，构造平行四边形和相似三角形是解决问题的关键．