Question

17．如图，在△ABC中，∠ABC=60°，AB=6，BC=10，以AC为边在△ABC外作等边△ACD，则BD的长为14．

Answer 1

分析 以AB为边作等边三角形AEB，连接CE，如图所示，由三角形ABE与三角形ACD都为等边三角形，利用等边三角形的性质得到AE=AB，AD=AC，且∠EAB=∠DAC=60°，利用等式的性质得到夹角相等，利用SAS得到三角形EAC与三角形BAD全等，利用余弦定理求出EC的长就是BD的长．

解答 解：以AB为边作等边三角形AEB，连接CE，如图所示，

∵△ABE与△ACD都为等边三角形，
∴∠EAB=∠DAC=60°，AE=AB，
∴∠EAB+∠BAC=∠DAC+∠BAC，即∠EAC=∠BAD，
在△EAC和△BAD中，
$\left\{\begin{array}{l}{AE=AB\\;}\\{∠EAC=∠BAD}\\{AD=AC}\end{array}\right.$，
∴△EAC≌△BAD（SAS），
∴BD=EC，
∵∠EBA=60°，∠ABC=60°，
∴∠EBC=120°，
在△EBC中，BC=10，EB=6，
过点E做BC的垂线交BC于点F，则∠EBF=60°，∠FEB=30°，
∴EF=3$\sqrt{3}$，FB=3，FC=10+3=13，
∴EC²=FC²+EF²=196，
∴BD=EC=14．
故答案为：14．

点评 此题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，以及余弦定理，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键．