Question

17．【问题学习】小芸在小组学习时问小娟这样一个问题：已知α为锐角，且sinα=$\frac{1}{3}$，求sin2α的值．小娟是这样给小芸讲解的：
构造如图1所示的图形，在⊙O中，AB是直径，点C在⊙O上，所以∠ACB=90°，作CD⊥AB于D．设∠BAC=α，则sinα=$\frac{BC}{AB}$=$\frac{1}{3}$，可设BC=x，则AB=3x，…．
【问题解决】
（1）请按照小娟的思路，利用图1求出sin2α的值；（写出完整的解答过程）
（2）如图2，已知点M，N，P为⊙O上的三点，且∠P=β，sinβ=$\frac{3}{5}$，求sin2β的值．

Answer 1

分析 （1）如图1中，⊙O中，AB是直径，点C在⊙O上，所以∠ACB=90°，作CD⊥AB于D．设∠BAC=α，则sinα=$\frac{BC}{AB}$=$\frac{1}{3}$，可设BC=x，则AB=3x．利用面积法求出CD，在Rt△COD中，根据sin2α=$\frac{CD}{OC}$，计算即可．
（2）如图2中，连接NO，并延长交⊙O于点Q，连接MQ，MO，过点M作MR⊥NO于点R．首先证明∠MON=2∠Q=2β，
在Rt△QMN中，由sinβ=$\frac{MN}{NQ}=\frac{3}{5}$，设MN=3k，则NQ=5k，易得OM=$\frac{1}{2}$NQ=$\frac{5}{2}k$，可得MQ=$\sqrt{Q{N^2}-M{N^2}}=4k$，由$\frac{1}{2}$•MN•MQ=$\frac{1}{2}$•NQ•MR，求出在Rt△MRO中，根据sin2β=sin∠MON=$\frac{MR}{OM}$，计算即可．

解答 解：（1）如图1中，⊙O中，AB是直径，点C在⊙O上，所以∠ACB=90°，作CD⊥AB于D．设∠BAC=α，则sinα=$\frac{BC}{AB}$=$\frac{1}{3}$，可设BC=x，则AB=3x．

∴AC=$\sqrt{A{B}^{2}-B{C}^{2}}$=$\sqrt{（3x）^{2}-{x}^{2}}$=2$\sqrt{2}$x，
∵$\frac{1}{2}$•AC•BC=$\frac{1}{2}$•AB•CD，
∴CD=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$x，
∵OA=OC，
∴∠OAC=∠OCA=α，
∴∠COB=2α，
∴sin2α=$\frac{CD}{OC}$=$\frac{{4\sqrt{2}}}{9}$．　

（2）如图2中，连接NO，并延长交⊙O于点Q，连接MQ，MO，过点M作MR⊥NO于点R．

在⊙O中，∠NMQ=90°，
∵∠Q=∠P=β，∴∠MON=2∠Q=2β，
在Rt△QMN中，∵sinβ=$\frac{MN}{NQ}=\frac{3}{5}$，
∴设MN=3k，则NQ=5k，易得OM=$\frac{1}{2}$NQ=$\frac{5}{2}k$，
∴MQ=$\sqrt{Q{N^2}-M{N^2}}=4k$，
∵${S_{△NMQ}}=\frac{1}{2}MN•MQ=\frac{1}{2}NQ•MR$，
∴3k•4k=5k•MR
∴MR=$\frac{12}{5}k$，
在Rt△MRO中，sin2β=sin∠MON=$\frac{MR}{OM}=\frac{{\frac{12}{5}k}}{{\frac{5k}{2}}}=\frac{24}{25}$．

点评 本题考查圆综合题、锐角三角函数，等腰三角形的性质，圆周角定理、勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，本题的突破点是找到两倍角，属于中考压轴题．