Question

20．如图，抛物线y=-2x²+4x+1交y轴点A，顶点是M，点B是x轴上的一个动点，连结AB，BM，将线段AB绕点B顺时针旋转90°到BC的位置，当BM平分∠ABC时，点B的坐标是（1，0）或（2，0）．

Answer 1

分析 根据抛物线的解析式求得A、M的坐标，设B（a，0），作CD⊥x轴于D，证得△AOB≌△BDC，求得BD=OA=1，CD=OB=a，得出C（1+a，a），然后证得△AMB≌△CMB，求得AM=CM，进而根据勾股定理得出关于a的方程，解方程即可求得．

解答 解：∵抛物线y=-2x²+4x+1=-2（x-1）+3交y轴点A，顶点是M，
∴A（0，1），M（1，3），
设B（a，0），
作CD⊥x轴于D，
∵∠ABC=90°，
∴∠ABO+∠CBD=90°，
∵∠ABO+∠OAB=90°，
∴∠OAB=∠CBD，
∵∠AOB=∠BDC=90°，
在△AOB和△BDC中
$\left\{\begin{array}{l}{∠OAB=∠CBD}\\{∠AOB=∠BDC}\\{AB=BC}\end{array}\right.$
∴△AOB≌△BDC，
∴BD=OA=1，CD=OB=a，
∴C（1+a，a），
在△AMB和△CMB中
$\left\{\begin{array}{l}{AB=BC}\\{∠ABM=∠CBM}\\{BM=BM}\end{array}\right.$
∴△AMB≌△CMB，
∴AM=CM，
∴（1+a-1）²+（a-3）²=（0-1）²+（1-3）²，
解得a₁=2，a₂=1，
∴B（2，0）或（1，0）．
故答案为（2，0）或（1，0）．

点评 本题考查了二次函数的图象于几何变换，三角形全等的判定和性质，勾股定理的应用等，作出辅助线构建全等三角形是解题的关键．