Question

9．如图，△ABC和△ADE都是等边三角形，且点B，A，E在同一直线上，连接BD交AC于M，连接CE交AD于N，连接MN．
（1）求证：BD=CE；
（2）求证：BM=CN；
（3）求证：MN∥BE．
（4）若点P，Q分别是BD，CE的中点，试判断△PAQ的形状，并证明你的结论．

Answer 1

分析 （1）由已知条件利用SAS证明△ABD≌△ACE即可．
（2）由已知条件利用ASA证明△ABM≌△ACN．
（3）在（2）的基础上可利用内错角证明MN∥BE．
（4）由（1）得出的结论得出∠ADB=∠AEC，BD=CE，进而判断出△PDA≌△QEA即可得出AP=AQ，∠DPA=∠QEA，最后判断出∠PAQ=60°即可．

解答 证明：（1）∵△ABC和△ADE都是等边三角形，
则在△ABD和△ACE中，$\left\{\begin{array}{l}{AB=AC}\\{∠BAD=∠CAE}\\{AD=AE}\end{array}\right.$
∴△ABD≌△ACE，
∴BD=CE．

（2）由（1）可知，∠DBA=∠ACE，
又∵AB=AC，∠BAC=∠CAD=60°，
则在△ABM和△ACN中，$\left\{\begin{array}{l}{∠DBA=∠ACE}\\{AB=AC}\\{∠BAC=∠CAD}\end{array}\right.$
∴△ABM≌△ACN，
∴BM=CN．

（3）由（2）得，AM=AN，
∴∠AMN=∠ANM=60°=∠DAE，
∴MN∥BE．

（4）由（1）知，△ABD≌△ACE（SAS），
∴∠ADB=∠AEC，BD=CE，
∵P，Q分别为DD，CE的中点，
∴DP=EQ，
在△PDA和△QEA中 $\left\{\begin{array}{l}{DP=EQ}\\{∠BDA=∠CEA}\\{DA=EA}\end{array}\right.$
∴△PDA≌△QEA，
∴AP=AQ，∠DPA=∠QEA，
∵∠QAE+∠DAQ=60°，
∴∠PAD+∠DAQ=60°，
即∠PAQ=60°，
在△PAQ中，AP=AQ，∠PAQ=60°，
∴△PAQ为正三角形

点评 本题是三角形综合题，主要考查看了全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，线段中点的定义，三角形的内角和定理，准确的找出全等三角形是解题的关键．