Question

19．如图，己知二次函数图象的顶点坐标为C（1，0），直线y=x+m与该二次函数的图象交于A、B两点，与对称轴交于D（m，2），其中B点在y轴上
（1）求这个二次函数的解析式；
（2）点P为线段AB上的一个动点（点P与A、B不重合），过P点作x轴的垂线与这个一次函数的图象交于E点，设线段PE的长为h，点P的横坐标为t，求h与t之间的函数解析式，并写出自变量的取值范围；
（3）若点P为线段AB上的一个动点（点P与A、B不重合），过P点作x轴的垂线与这个二次函数的图象仍交于E点，在直线AB上是否存在一点P，使得以D，C，E，P为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出P点的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）把D（m，2）代入y=x+m，得到2=m+m，得m=1，所以直线解析式为y=x+1，得点B坐标（0，1），因为二次函数图象的顶点坐标为C（1，0），所以可以假设二次函数解析式为y=a（x-1）²，把B（0，1）代入即可解决问题．
（2）PE的长实际是直线AB的解析式与抛物线的差．由此可得出h，x的函数关系式，自变量的取值范围由图象即可解决．
（3）先求出D点的坐标和CD的长，由于四边形PDCE是平行四边形，因此CD=PE，将CD的长代入（2）的函数关系式中，可得出一个关于x的方程，如果方程无解，则说明不存在这样的P点，如果有解，那么求出的x就是P的横坐标，进而可根据直线AB的解析式求出P点的坐标．

解答 解：（1）把D（m，2）代入y=x+m，得到2=m+m，
∴m=1，
∴直线解析式为y=x+1，
∴点B坐标（0，1），
∵二次函数图象的顶点坐标为C（1，0），
∴可以假设二次函数解析式为y=a（x-1）²，把B（0，1）代入得a=1，
∴抛物线的解析式为y=（x-1）²
即y=x²-2x+1；

（2）由$\left\{\begin{array}{l}{y=x+1}\\{y={x}^{2}-2x+1}\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l}{x=0}\\{y=1}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=3}\\{y=4}\end{array}\right.$，
∴点A坐标（3，4）．
h=（x+1）-（x²-2x+1）=-x²+3x（0＜x＜3）；

（3）要使四边形DCEP是平行四边形，必须有PE=DC，
∵y=x+1经过点D，
∴D（1，2），
∴-x²+3x=2，
∴x²-3x+2=0，
（x-1）（x-2）=0，
∴x=2或x=1，
∵当x=1时，y=2，
∴P（1，2）与D点重合，故舍去，
∴当点P的坐标为（2，3）时，四边形DCEP是平行四边形；

点评 本题考查二次函数综合题、待定系数法、平行四边形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活应用这些知识解决问题，学会利用方程的思想思考问题，属于中考常考题型．