Question

17．如图（a），两个不全等的等腰直角三角形OAB和OCD叠放在一起，并且有公共的直角顶点O．
（1）将图（a）中的△OAB绕点O顺时针旋转90°角，在图（b）中作出旋转后的△OAB（保留作图痕迹，不写作法，不证明）．此时，线段AB，CD的位置关系是AB⊥CD，请说明理由．
（2）如图（c）当△OAB绕着点O旋转45度时，线段AB⊥OD； 此时直线AC，BD的位置关系是AC⊥BD； 线段AC，BD的数量关系是AC=BD．（写出你的合理猜想，不用说明理由）

Answer 1

分析 （1）△OAB绕点O顺时针旋转90°角应该在△COD的右边；判断出△AOC≌△BOD（SAS）即可得到结论；
（3）利用等腰直角三角形的性质可以得到全等条件证明△COA≌△DOB，然后利用全等三角形的性质可以得出结论．

解答
解：（1）如图（a）所示：△A′OB′即为所求的三角形，
位置关系：AC⊥BD．
如图（b），连接AC、BD，延长CA交BD于点F；
∵△AOC与△BOD中，$\left\{\begin{array}{l}{AO=BO}\\{∠AOC=∠BOD}\\{CO=DO}\end{array}\right.$，
∴△AOC≌△BOD（SAS），

∴∠ACO=∠BDO，AC=BD．
∵∠ACO+∠CAO=90°，∠CAO=∠DAF
∴∠BDO+∠DAF=90°，
∴AF⊥DF，即AC⊥BD；
故答案为AC⊥BD；

（2）∵AB⊥OD，
∴∠BAO+∠AOD=90°，
∵∠COD=90°，
∴∠AOC=45°，
如图（c），延长CA交DO于点E，交BD于点G．

∵△AOC与△BOD中，$\left\{\begin{array}{l}{AO=BO}\\{∠AOC=∠BOD}\\{CO=DO}\end{array}\right.$，
∴△AOC≌△BOD（SAS）
∴AC=BD，∠ACO=∠BDO
∵∠ECO+∠CEO=90°，∠DEG=∠CEO
∴∠GDE+∠DEG=90°，
∴∠DGE=90°，
∴AC⊥BD，
故答案为：45；AC⊥BD；AC=BD

点评 本题是三角形综合题，主要考查了图形的旋转变化，学生要看清是顺时针还是逆时针旋转，然后画出图形，利用图形的性质通过证明三角形全等就可以解决问题．