题目内容
如图，⊙O与x轴的正半轴交于C、D两点，延长CO′交圆于点E，给出5个论断：①⊙O与y轴相切于点A；②DE⊥x轴；③EC平分∠AED；④DE=2AO；⑤OD=3OC．
（1）如果论断①、②都成立，那么论断④一定成立吗？答：
（2）从论断①、②、③、④中选取三个作为条件，将论断⑤作为结论，组成一个真命题，并加以证明：
已知：如图，⊙与x轴的正半轴交于C、D 两点，E为圆上一点，
考点：圆的综合题
专题：
分析：（1）连接AO′并延长交DE于点F，根据⊙O与y轴相切于点A可知∠OAQ′=90°，再由DE⊥x轴可知DE∥y轴，故四边形AODF是矩形，故OA=DF，再根据O′C=O′E可知EF=DF，故可得出结论；
（2）连接AC，根据切线的性质可知O′A⊥y轴，再由DE⊥x轴可知CE是⊙O′的直径，由EC平分∠AED，可设∠AEC=∠DEC=x，AC=CD，根据O′A=∠O′E得出∠O′AE=∠AEC=∠OAC=x，由圆内接四边形的性质得出∠ACO=∠AED=2x，根据∠AOC=90°可得∠OAC=x=30°，由此可得出结论．
（2）连接AC，根据切线的性质可知O′A⊥y轴，再由DE⊥x轴可知CE是⊙O′的直径，由EC平分∠AED，可设∠AEC=∠DEC=x，AC=CD，根据O′A=∠O′E得出∠O′AE=∠AEC=∠OAC=x，由圆内接四边形的性质得出∠ACO=∠AED=2x，根据∠AOC=90°可得∠OAC=x=30°，由此可得出结论．
解答：解：
（1）成立．
理由：连接AO′并延长交DE于点F，
∵⊙O与y轴相切于点A，
∴∠OAQ′=90°．
∵DE⊥x轴，
∴DE∥y轴，
∴四边形AODF是矩形，
∴OA=DF．
∵O′C=O′E，
∴EF=DF，即DE=2AO．
故答案为：成立；
（2）题设①②③（不唯一，含①③即可）．
证明：连接AC，
∵⊙O′与y轴相切于点A，
∴O′A⊥y轴，
∴∠OAC+∠O′AC=90°．
∵DE⊥x轴，
∴CE是⊙O′的直径，
∴∠O′AE+∠O′AC=90°，
∴∠OAC=∠Q′AE．
∵EC平分∠AED，
∴设∠AEC=∠DEC=x，AC=CD，
∵O′A=∠O′E，
∴∠O′AE=∠AEC=∠OAC=x．
∵四边形ACDE内接与⊙O′，
∴∠ACO=∠AED=2x．
∵∠AOC=90°，
∴∠OAC=x=30°，
∴CD=AC=2OC，
∴OD=3OC．
故答案为：①②③．
（1）成立．理由：连接AO′并延长交DE于点F，
∵⊙O与y轴相切于点A，
∴∠OAQ′=90°．
∵DE⊥x轴，
∴DE∥y轴，
∴四边形AODF是矩形，
∴OA=DF．
∵O′C=O′E，
∴EF=DF，即DE=2AO．
故答案为：成立；
（2）题设①②③（不唯一，含①③即可）．
证明：连接AC，
∵⊙O′与y轴相切于点A，
∴O′A⊥y轴，
∴∠OAC+∠O′AC=90°．
∵DE⊥x轴，
∴CE是⊙O′的直径，
∴∠O′AE+∠O′AC=90°，
∴∠OAC=∠Q′AE．
∵EC平分∠AED，
∴设∠AEC=∠DEC=x，AC=CD，
∵O′A=∠O′E，
∴∠O′AE=∠AEC=∠OAC=x．
∵四边形ACDE内接与⊙O′，
∴∠ACO=∠AED=2x．
∵∠AOC=90°，
∴∠OAC=x=30°，
∴CD=AC=2OC，
∴OD=3OC．
故答案为：①②③．
点评：本题考查的是圆的综合题，根据题意作出辅助线，利用切线的性质及直角三角形的性质求解是解答此题的关键．
练习册系列答案
励耘书业暑假衔接宁波出版社系列答案
相关题目
如图，已知∠ABC=∠DBE=90°，DB=BE，AB=BC．