Question

如图，已知∠ABC=∠DBE=90°，DB=BE，AB=BC．
（1）求证：AD=CE，AD⊥CE；
（2）若△DBE绕点B旋转到△ABC的外部其他条件不变，则（1）中结论是仍然成立？画出图形，证明你结论．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质,旋转的性质

专题：

分析：（1）根据等式的性质，可得∠ABD与∠CBE的关系，根据全等三角形的判定与性质，可得AD与CE的关系，根据余角的性质，可得∠CGF与∠GCF的关系，根据直角三角形的判定，可得答案；
（2）根据等式的性质，可得∠ABD与∠CBE的关系，根据全等三角形的判定与性质，可得AD与CE的关系，根据余角的性质，可得∠CGF与∠GCF的关系，根据直角三角形的判定，可得答案．

解答：（1）证明：如图1，
∵∠ABC=∠DBE=90°，
∴∠ABC-∠CBD=∠DBE-∠DBC，
即∠ABD=∠CBE．
在△ABD和△CBE中

AB=BC ∠ABD=∠CBE BD=BE

，
∴△ABD≌△CBE（SAS），
∵AD=CE，∠BAD=∠BCE．
∵∠AGB与∠CGF是对顶角，
∴∠AGB=∠CGF．
∵∠BAD+∠AGB=90°，
∴∠GCF+∠CGF=90°，
∴∠CFG=90°，
∴AD⊥CE；
（2）AD=CE，AD⊥CE，理由如下
如图2：，
∵∠ABC=∠DBE=90°，
∴∠ABC+∠CBD=∠DBE+∠DBC，
即∠ABD=∠CBE．
在△ABD和△CBE中

AB=BC ∠ABD=∠CBE BD=BE

，
∴△ABD≌△CBE（SAS），
∴AD=CE，∠BAD=∠BCE．
∵∠AGB与∠CGF是对顶角，
∴∠AGB=∠CGF．
∵∠BAD+∠AGB=90°，
∴∠GCF+∠CGF=90°，
∴∠CFG=90°，
∴AD⊥CE．

点评：本题考查了全等三角形的判定与性质，利用了全等三角形的判定与性质，余角的性质，直角三角形的判定．