Question

13．如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=3 cm，BC=5 cm，点D在线段AC上，且CD=1 cm，动点P从BA的延长线上距A点5 cm的E点出发，以每秒2 cm的速度沿射线EA的方向运动了t秒．
（1）直接用含有t的代数式表示PE=2t；
（2）在运动过程中，是否存在某个时刻，使△ABC与以A、D、P为顶点的三角形全等？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由．
（3）求△CPB的面积S关于t的函数表达式，并画出图象．

Answer 1

分析 （1）根据题意可得PE=2t．
（2）当PA=AC=4时，△ABC≌△ADP，可得方程5-2t=4或2t-5=4，解方程即可．
（3）分两种情形讨论即可①当0＜t≤4时．②当t＞4时，分别求解即可．

解答 解：（1）由题意PE=2t．
故答案为2t．

（2）存在．
理由：在Rt△ABC中，∵AB=3，BC=5，
∴AC=$\sqrt{B{C}^{2}-A{B}^{2}}$=$\sqrt{{5}^{2}-{3}^{2}}$=4，
∵CD=1，
∴AD=AB=3，
在△ABC和△PAD中，
∵∠BAC=∠DAP=90°，AD=BC，
∴当PA=AC=4时，△ABC≌△ADP，
∴5-2t=4或2t-5=4，
∴t=$\frac{1}{2}$s或$\frac{9}{2}$s．
∴∴t=$\frac{1}{2}$s或$\frac{9}{2}$s时，使△ABC与以A、D、P为顶点的三角形全等．

（3）①当0＜t≤4时，S=$\frac{1}{2}$PB•AC=$\frac{1}{2}$•（8-2t）•4=16-4t．
②当t＞4时，S=S=$\frac{1}{2}$PB•AC=$\frac{1}{2}$•（2t-8）•4=4t-16．
综上所述，S=$\left\{\begin{array}{l}{16-4t}&{（0＜t≤4）}\\{4t-16}&{（t＞4）}\end{array}\right.$．

点评 本题考查三角形综合题、全等三角形的判定和性质、三角形的面积等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，注意一题多解，属于中考常考题型．