Question

5．如图，己知AB是半径为2的圆O直径，C是圆上一点，D是BC延长线上一点，过点D的直线交AC于E点，且△AEF为等边三角形．
（1）求证：△DFB是等腰三角形；
（2）若AF=1，求DA的长度；
（3）若DA=$\sqrt{7}$AF，求证：CF⊥AB．

Answer 1

分析 （1）由AB是⊙O直径，得到∠ACB=90°，由于△AEF为等边三角形，得到∠CAB=∠EFA=60°，根据三角形的外角的性质即可得到结论；
（2）根据等边三角形求出FM、AM、根据勾股定理求出AF即可；
（3）过点A作AM⊥DF于点M，设AF=2a，根据等边三角形的性质得到FM=EM=a，AM=$\sqrt{3}$a，在根据已知条件得到AB=AF+BF=8a，根据直角三角形的性质得到AE=EF=AF=CE=2a，推出∠ECF=∠EFC，根据三角形的内角和即可得到结论．

解答 （1）证明：∵AB是⊙O直径，
∴∠ACB=90°，
∵△AEF为等边三角形，
∴∠CAB=∠EFA=60°
∴∠B=30°，
∵∠EFA=∠B+∠FDB，
∴∠B=∠FDB=30°，
∴△DFB是等腰三角形；

（2）解：过点A作AM⊥DF于点M，
∵AB=2×2=4，AF=1，
∴BF=4-1=3，
∵DF=BF，
∴DF=3，
∵△AEF是等边三角形，
∴FM=EM=$\frac{1}{2}$AF=$\frac{1}{2}$，AM=$\sqrt{3}$FM=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
在Rt△DAM中，AD=$\sqrt{7}$AF=$\sqrt{7}$×1=$\sqrt{7}$；


（3）证明：设AF=2a，

∵△AEF是等边三角形，
∴FM=EM=a，AM=$\sqrt{3}$a，
在Rt△DAM中，AD=$\sqrt{7}$AF=2$\sqrt{7}$a，AM=$\sqrt{3}$a，
∴DM=5a，∴DF=BF=6a，
∴AB=AF+BF=8a，
在Rt△ABC中，∠B=30°，∠ACB=90°，
∴AC=4a，
∵AE=EF=AF=2a，
∴CE=AC-AE=2a，
∴∠ECF=∠EFC，
∵∠AEF=∠ECF+∠EFC=60°，
∴∠CFE=30°，
∴∠AFC=∠AFE+∠EFC=60°+30°=90°，
∴CF⊥AB．

点评 本题考查了圆周角定理，等边三角形的性质，等腰三角形的判定和性质，含30°角的直角三角形，勾股定理，正确的作出辅助线是解题的关键．