Question

3．Rt△ABC，∠ACB=90°，AC=4，BC=3，P是射线AB上的一个动点，以P为圆心，PA为半径的圆P与射线AC的另一个交点为D，直线PD交BC于点E．
（1）AB=5；
（2）求证：PB=PE；
（3）若AP=2，求ED，DC的长；
（4）若圆P与边BC没有公共点，直接写出AP的取值范围．

Answer 1

分析 （1）直接利用勾股定理得出AB的长；
（2）利用等腰三角形的性质得出∠A=∠PDA，进而得出∠PBE=∠PEB，求出即可；
（2）由相似三角形的判定定理得出△ABC∽△DEC，再根据锐角三角函数的定义即可得出结论；
（4）直接利用圆P与边BC相切前以及A，C，B共圆后分别得出AP的取值范围．

解答 （1）解：∵∠ACB=90°，AC=4，BC=3，
∴AB=$\sqrt{{3}^{2}+{4}^{2}}$=5，
故答案为：5；

（2）证明：如图1，∵PA=PD，
∴∠A=∠PDA，
∵∠EDC=∠PDA，∴∠A=∠EDC，
∵AC⊥BC，
∴∠PBE=∠PEB，
∴PB=PE；

（3）解：如图1，
∵AP=DP，
∴∠PAD=∠PDA．
∴∠PAD=∠CDE．
∵∠ACB=∠DCE=90°，
∴△ABC∽△DEC．
∴∠ABC=∠DEC，$\frac{BC}{EC}$=$\frac{AB}{DE}$=$\frac{AC}{DC}$．
∴PB=PE．
Rt△ABC中，∠ABC=90°，
∵AC=4，BC=3，
∴AB=5．
∵AP=2，
∴PB=PE=3，DE=1，
∴$\frac{4}{DC}$=$\frac{5}{1}$，
解得：CD=$\frac{4}{5}$；

（4）如图2所示：
当⊙P与直线BC相切，切点为N，
连接PN，则PN⊥BC与点N，
∵∠PNB=∠ACB=90°，
∴AC∥PN，
∴△ACB∽△PNB，
∴$\frac{PN}{AC}$=$\frac{PB}{AB}$，
设⊙P的半径为AP=x，
∴$\frac{x}{4}$=$\frac{5-x}{5}$，
解得：x=$\frac{20}{9}$，
∴当0＜AP＜$\frac{20}{9}$时，圆P与边BC没有公共点，
如图3，当A，C，B三点共圆，则AB是直径，此时AP=$\frac{1}{2}$AB=$\frac{5}{2}$，
故当$\frac{5}{2}$＜AP时，圆P与边BC没有公共点，
综上所述，当0＜AP＜$\frac{20}{9}$时或当$\frac{5}{2}$＜AP时，圆P与边BC没有公共点．

点评 本题考查的是圆的综合题，涉及到相似三角形的判定与性质、切线的性质等知识，得出△ABC∽△DEC是解题关键．