在平面直角坐标系xOy中.点A(x1.y1).B(x2.y2).若x1x2+y1y2=0.且A.B均不为原点.则称A和B互为正交点．比如:A.其中1×2+1×(-2)=0.那么A和B互为正交点．(1)点P和Q互为正交点.P的坐标为.①如果Q的坐标为(6.m).那么m的值为4,②如果Q的坐标为(x.y).求y与x之间的关系式,(2)点M和N互为正交点.直接写出∠MON的度� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

8．在平面直角坐标系xOy中，点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），若x₁x₂+y₁y₂=0，且A，B均不为原点，则称A和B互为正交点．比如：A（1，1），B（2，-2），其中1×2+1×（-2）=0，那么A和B互为正交点．
（1）点P和Q互为正交点，P的坐标为（-2，3），
①如果Q的坐标为（6，m），那么m的值为4；
②如果Q的坐标为（x，y），求y与x之间的关系式；
（2）点M和N互为正交点，直接写出∠MON的度数；
（3）点C，D是以（0，2）为圆心，半径为2的圆上的正交点，以线段CD为边，构造正方形CDEF，原点O在正方形CDEF的外部，求线段OE长度的取值范围．

分析（1）①②根据互为正交点的定义，列出方程即可解决问题；
（2）设M（m，n），N（p，q），推出直线OM的解析式为y=$\frac{n}{m}$x，直线ON的解析式为y=$\frac{q}{p}$x，由点M和N互为正交点，可得mp+nq=0，推出k_OM•k_ON=$\frac{nq}{mp}$=-1即可解决问题；
（3）如图1中，连接EF交CD于H，作FQ⊥CD于Q．寻找特殊位置，求出OE的最大值以及最小值即可．

解答解：（1）①由题意：-2×6+3m=0，
解得m=4，
故答案为4．
②由题意：-2x+3y=0，
∴y=$\frac{2}{3}$x．
故答案为y=$\frac{2}{3}$x．

（2）设M（m，n），N（p，q），
∴直线OM的解析式为y=$\frac{n}{m}$x，直线ON的解析式为y=$\frac{q}{p}$x，
∵点M和N互为正交点，
∴mp+nq=0，
∴k_OM•k_ON=$\frac{nq}{mp}$=-1，
∴OM⊥ON．
∴∠MON=90°．

（3）如图1中，连接EF交CD于H，作FQ⊥CD于Q．

由题意DF=CF=2，CD=DE=2$\sqrt{2}$，DQ=QC=FQ=$\sqrt{2}$，
∵FQ∥DE，
∴QH：DH=FQ：DE=FH：EH=1：2，
∴HQ=$\frac{\sqrt{2}}{3}$，FH=$\sqrt{（\sqrt{2}）^{2}+（\frac{\sqrt{2}}{3}）^{2}}$=$\frac{2\sqrt{5}}{3}$，
∴EH=2FH=$\frac{4\sqrt{5}}{3}$，
∴EF=FH+EH=2$\sqrt{5}$，
在△OFE中，OE≤EF+OF，
∴当点E在y轴的正半轴上时，O、F、E共线，此时OE的值最大，最大值为2+2$\sqrt{5}$．
∵原点O在正方形CDEF的外部，
∴当点F在x轴正半轴上时，OE的值最小，最小值为4．
∴符合条件的OE的范围为：4≤OE≤2+2$\sqrt{5}$．