Question

13．如图，AB是半圆O的直径，点C在半圆O上，AB=4cm，∠CAB=60°，P是弧$\widehat{BC}$上的一个动点，连接AP，过C点作CD⊥AP于D，连接BD，在点P移动的过程中，BD的最小值是（$\sqrt{13}$-1）cm．

Answer 1

分析 以AC为直径作圆O′，连接BO′、BC．在点P移动的过程中，点D在以AC为直径的圆上运动，当O′、D、B共线时，BD的值最小，最小值为O′B-O′D，利用勾股定理求出BO′即可解决问题．

解答 解：如图，以AC为直径作圆O′，连接BO′、BC．

∵CD⊥AP，
∴∠ADC=90°，
∴在点P移动的过程中，点D在以AC为直径的圆上运动，
∵AB是直径，
∴∠ACB=90°，
在Rt△ABC中，∵AB=4cm，∠CAB=60°，
∴BC=AB•sin60°=2$\sqrt{3}$，AC=AB•cos60°=2cm．
在Rt△BCO′中，BO′=$\sqrt{B{C}^{2}+O′{C}^{2}}$=$\sqrt{12+1}$=$\sqrt{13}$，
∵O′D+BD≥O′B，
∴当O′、D、B共线时，BD的值最小，最小值为O′B-O′D=$\sqrt{13}$-1，
故答案为（$\sqrt{13}$-1）cm．

点评 本题考查圆周角定理，勾股定理、点与圆的位置关系等知识，解题的关键是确定点D的运动轨迹是以AC为直径的圆上运动，属于中考填空题中的压轴题．