题目内容

16．如图，A，E，F，C在一条直线上，AF=CE，过E，F分别作DE⊥AC，BF⊥AC，垂足分别为E，F，AB=CD，求证：BF=DE．

分析 根据垂直的定义可得∠CED=∠AFB=90°，再利用“HL”证明Rt△ABF和Rt△CDE全等，根据全等三角形对应边相等证明即可．

解答 证明：∵DE⊥AC，BF⊥AC，
∴∠CED=∠AFB=90°，
在Rt△ABF和Rt△CDE中，$\left\{\begin{array}{l}{AB=CD}\\{AF=CE}\end{array}\right.$，
∴Rt△ABF≌Rt△CDE（HL），
∴BF=DE．

点评 本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握三角形全等的判定方法是解题的关键．

练习册系列答案
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2．在图1--图4中，菱形ABCD的边长为3，∠A=60°，点M是AD边上一点，且DM=$\frac{1}{3}$AD，点N是折线AB-BC上的一个动点．

（1）如图1，当N在BC边上，且MN过对角线AC与BD的交点时，则线段AN的长度为$\sqrt{13}$．
（2）当点N在AB边上时，将△AMN沿MN翻折得到
△A′MN，如图2，
①若点A′落在AB边上，则线段AN的长度为1；
②当点A′落在对角线AC上时，如图3，求证：四边形AM A′N是菱形；
③当点A′落在对角线BD上时，如图4，求$\frac{A′B}{A′N}$的值．
3．小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如：3+2$\sqrt{2}$=（1+$\sqrt{2}$）2，善于思考的小明进行了以下探索：
设a+b$\sqrt{2}$=（m+n$\sqrt{2}$）2（其中a、b、m、n均为整数），则有a+b$\sqrt{2}$=m2+2n2+2mn$\sqrt{2}$，∴a=m2+2n2，b=2mn，这样小明就找到了一种把部分a+b$\sqrt{2}$的式子化为平方式的方法．
请我仿照小明的方法探索并解决下列问题：
（1）当a、b、m、n均为正整数时，若a+b$\sqrt{3}$=（m+n$\sqrt{3}$）2，用含m、n的式子分别表示a、b，得a=m2+3n2，b=2mn．
（2）若a+4$\sqrt{3}$=（m+n$\sqrt{3}$）2，且a、m、n均为正整数，求a的值．
4．若81-xn=（3-x）（3+x）（9+x2），则n的值为（　　）
A．2B．3C．6D．4
11．如图：证明：∠A+∠B+∠C=180°．
1．在“五一”期间，小明、小亮等同学随家长一同到某公园游玩，下面是购买门票时，小明与他爸爸的对话（如图），试根据图中的信息，解答下列问题：
（1）他们共去了几个成人，几个学生？
（2）请你帮助算算，用哪种方式购票更省钱？
8．在平面直角坐标系xOy中，点A（x1，y1），B（x2，y2），若x1x2+y1y2=0，且A，B均不为原点，则称A和B互为正交点．比如：A（1，1），B（2，-2），其中1×2+1×（-2）=0，那么A和B互为正交点．
（1）点P和Q互为正交点，P的坐标为（-2，3），
①如果Q的坐标为（6，m），那么m的值为4；
②如果Q的坐标为（x，y），求y与x之间的关系式；
（2）点M和N互为正交点，直接写出∠MON的度数；
（3）点C，D是以（0，2）为圆心，半径为2的圆上的正交点，以线段CD为边，构造正方形CDEF，原点O在正方形CDEF的外部，求线段OE长度的取值范围．
5．点A在第二象限，且到x轴的距离为2，到y轴的距离为3，则点A的坐标是（　　）
A．（-2，3）B．（-3，2）C．（3，-2）D．（2，-3）
6．如图，已知正方形ABCD，将一块等腰直角三角板的锐角顶点与A重合，并将三角板绕A点旋转，如图1，使它的斜边与BD交于点H，一条直角边与CD交于点G．
（1）请适当添加辅助线，通过三角形相似，求出$\frac{AH}{AG}$的值；
（2）连接GH，判断GH与AF的位置关系，并证明；
（3）如图2，将三角板旋转至点F恰好在DC的延长线上时，若AD=3$\sqrt{2}$，AF=5$\sqrt{2}$．求DG的长．

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