Question

10．如图，点C在以AB为直径的半圆上，AB=8，∠CBA=30°，点D在线段AB上运动，点E与点D关于AC对称，DF⊥DE于点D，并交EC的延长线于点F．下列结论：①CE=CF；②当AD=2时，EF与半圆相切；③线段EF的最小值为4；④若点F恰好落在BC上，则AD=4．其中正确结论的序号是①②．

Answer 1

分析 ①连接CD，如图1，由点E与点D关于AC对称可得CE=CD，再根据DF⊥DE即可证得CE=CF；
②连接DC、OC，如图2，易证△AOC是等边三角形，AD=OD，根据等腰三角形的“三线合一”可求出∠ACD，进而可求出∠ECO=90°，即可得到EF与半圆相切；
③连接CD，如图3，根据“点到直线之间，垂线段最短”可得：当CD⊥AB时，CD最小．由于EF=2CD，只需求出CD的最小值，就可求出EF的最小值；
④若点F恰好落在BC上，则点D、F重合于点B，此时AD=AB=8．

解答 解：①连接CD，如图1所示．

∵点E与点D关于AC对称，
∴CE=CD，
∴∠E=∠CDE．
∵DF⊥DE，
∴∠EDF=90°．
∴∠E+∠F=90°，∠CDE+∠CDF=90°，
∴∠F=∠CDF，
∴CD=CF．
∴CE=CD=CF．
∴结论①正确；

②当AD=2时，连接CD、OC，如图2所示．

∵OA=OC，∠CAB=60°，
∴△OAC是等边三角形，
∴CA=CO，∠ACO=60°．
∵AO=4，AD=2，
∴DO=2，
∴AD=DO，
∴∠ACD=∠OCD=30°．
∵点E与点D关于AC对称，
∴∠ECA=∠DCA，
∴∠ECA=30°，
∴∠ECO=90°，即OC⊥EF．
∵EF经过半径OC的外端，且OC⊥EF，
∴EF与半圆相切．
∴结论②正确；

③当CD⊥AB时，如图3所示．

∵AB是半圆的直径，
∴∠ACB=90°．
∵AB=8，∠CBA=30°，
∴∠CAB=60°，AC=4，BC=4$\sqrt{3}$．
∵CD⊥AB，∠CBA=30°，
∴CD=$\frac{1}{2}$BC=2$\sqrt{3}$．
根据“点到直线之间，垂线段最短”可得：
点D在线段AB上运动时，CD的最小值为2$\sqrt{3}$．
∵CE=CD=CF，
∴EF=2CD，
∴线段EF的最小值为4$\sqrt{3}$．
∴结论③错误；

④若点F恰好落在BC上，
则有点D、F重合于点B，此时AD=AB=8，
∴结论④错误．
故答案为：①②．

点评 本题考查了等边三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、切线的判定、轴对称的性质、垂线段最短、30°角所对的直角边等于斜边的一半等知识，关键是根据轴对称的性质和等边三角形的判定与性质进行分析．