Question

2．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax²+$\frac{3}{2}$x+c（a≠0）与x轴交于A、B两点（点A在点B的右侧），与y轴交于点C，点A的坐标为（4，0），抛物线的对称轴是直线x=$\frac{3}{2}$．
（1）求抛物线的解析式；
（2）M为第一象限内的抛物线上的一个点，过点M作MG⊥x轴于点G，交AC于点H，当线段CM=CH时，求点M的坐标；
（3）在（2）的条件下，将线段MG绕点G顺时针旋转一个角α（0°＜α＜90°），在旋转过程中，设线段MG与抛物线交于点N，在线段GA上是否存在点P，使得以P、N、G为顶点的三角形与△ABC相似？如果存在，请求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）首先利用对称轴公式求出a的值，然后把点A的坐标与a的值代入抛物线的解析式，求出c的值，即可确定出抛物线的解析式．
（2）首先根据抛物线的解析式确定出点C的坐标，再根据待定系数法，确定出直线AC解析式为y=-$\frac{1}{2}$x+2；然后设点M的坐标为（m，-$\frac{1}{2}$m²+$\frac{3}{2}$m+2），H（m，-$\frac{1}{2}$m+2），求出MH的值是多少，再根据CM=CH，OC=GE=2，可得MH=2EH，据此求出m的值是多少，再把m的值代入抛物线的解析式，求出y的值，即可确定点M的坐标．
（3）首先判断出△ABC为直角三角形，然后分两种情况：①当$\frac{{N}_{1}{P}_{1}}{AC}$=$\frac{{P}_{1}G}{CB}$时；②当$\frac{{N}_{2}{P}_{2}}{BC}$=$\frac{{P}_{2}G}{CA}$时；根据相似三角形的性质，判断出是否存在点P，使得以P、N、G为顶点的三角形与△ABC相似即可．

解答 解：（1）∵x=-$\frac{b}{2a}$=$\frac{3}{2}$，b=$\frac{3}{2}$，
∴a=-$\frac{1}{2}$，
把A（4，0），a=-$\frac{1}{2}$代入y=ax²+$\frac{3}{2}$x+c，
可得（$-\frac{1}{2}$）×4²+$\frac{3}{2}$×4+c=0，
解得c=2，
则抛物线解析式为y=-$\frac{1}{2}$x²+$\frac{3}{2}$x+2．

（2）如图1，连接CM，过C点作CE⊥MH于点E，
，
∵y=-$\frac{1}{2}$x²+$\frac{3}{2}$x+2，
∴当x=0时，y=2，
∴C点的坐标是（0，2），
设直线AC解析式为y=kx+b（k≠0），
把A（4，0）、C（0，2）代入y=kx+b，
可得$\left\{\begin{array}{l}{4k+b=0}\\{b=2}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=-\frac{1}{2}}\\{b=2}\end{array}\right.$，
∴直线AC解析式为y=-$\frac{1}{2}$x+2，
∵点M在抛物线上，点H在AC上，MG⊥x轴，
∴设点M的坐标为（m，-$\frac{1}{2}$m²+$\frac{3}{2}$m+2），H（m，-$\frac{1}{2}$m+2），
∴MH=-$\frac{1}{2}$m²+$\frac{3}{2}$m+2-（-$\frac{1}{2}$m+2）=-$\frac{1}{2}$m²+2m，
∵CM=CH，OC=GE=2，
∴MH=2EH=2×[2-（-$\frac{1}{2}$m+2）]=m，
又∵MH=-$\frac{1}{2}$m²+2m，
∴-$\frac{1}{2}$m²+2m=m，
即m（m-2）=0，
解得m=2或m=0（不符合题意，舍去），
∴m=2，
当m=2时，
y=-$\frac{1}{2}$×2²+$\frac{3}{2}$×2+2=3，
∴点M的坐标为（2，3）．

（3）存在点P，使以P，N，G为顶点的三角形与△ABC相似，理由为：
∵抛物线与x轴交于A、B两点，A（4，0），A、B两点关于直线x=$\frac{3}{2}$成轴对称，
∴B（-1，0），
∵AC=$\sqrt{{4}^{2}+{2}^{2}}$=2$\sqrt{5}$，BC=$\sqrt{{1}^{2}+{2}^{2}}$=$\sqrt{5}$，AB=5，
∴AC²+BC²=${（2\sqrt{5}）}^{2}$+${（\sqrt{5}）}^{2}$=25，AB²=5²=25，
∵AC²+BC²=AB²=25，
∴△ABC为直角三角形，
∴∠ACB=90°，
线段MG绕G点旋转过程中，与抛物线交于点N，当NP⊥x轴时，∠NPG=90°，
设P点坐标为（n，0），
则N点坐标为（n，-$\frac{1}{2}$n²+$\frac{3}{2}$n+2），
①如图2，

当$\frac{{N}_{1}{P}_{1}}{AC}$=$\frac{{P}_{1}G}{CB}$时，
∵∠N₁P₁G=∠ACB=90°，
∴△N₁P₁G∽△ACB，
∴$\frac{-\frac{1}{2}{n}^{2}+\frac{3}{2}n+2}{2\sqrt{5}}$=$\frac{n-2}{\sqrt{5}}$，
解得：n₁=3，n₂=-4（不符合题意，舍去），
∴P的坐标为（3，0）．
②当$\frac{{N}_{2}{P}_{2}}{BC}$=$\frac{{P}_{2}G}{CA}$时，
∵∠N₂P₂G=∠BCA=90°，
∴△N₂P₂G∽△BCA，
∴$\frac{-{\frac{1}{2}n}^{2}+\frac{3}{2}n+2}{\sqrt{5}}=\frac{n-2}{2\sqrt{5}}$，
解得：n₁=1$+\sqrt{7}$，n₂=1-$\sqrt{7}$（不符合题意，舍去），
∴P的坐标为（1+$\sqrt{7}$，0）．
∴存在点P（3，0）或（1$+\sqrt{7}$，0），使以P，N，G为顶点的三角形与△ABC相似．

点评 （1）此题主要考查了二次函数综合题，考查了分析推理能力，考查了分类讨论思想的应用，考查了数形结合思想的应用，考查了从已知函数图象中获取信息，并能利用获取的信息解答相应的问题的能力．
（2）此题还考查了待定系数法求函数解析式的方法，要熟练掌握．
（3）此题还考查了相似三角形的性质和应用，以及直角三角形的性质和应用，要熟练掌握．