题目内容
20．在图1、图2、图3中，直线MN与线段AB的延长线或AB交于点O，点C和点D在直线MN上，且∠ACM=∠BDM=45°．（1）在图1中，点O在AB的延长线上，且AO=3BO，请直接写出AC与BD的数量关系与位置关系；
（2）在图2中，点O在AB上，且AO=BO，写出AC与BD的数量关系与位置关系并证明．
（3）在图3中，点O在AB上，且AO=kBO，求$\frac{AC}{BD}$的值．
分析 （1）由∠ACM=∠BDM=45°得出BD∥AC，得出△ACO∽△BEO，利用对应边成比例得出答案即可；
（2）过B作BE⊥BD交OD于点E，根据平行线的性质得到∠BED=45°，根据邻补角的定义得到∠OEB=∠ACO=135°，根据全等三角形的性质即可得到结论；
（3）过点B作BE∥CA交DO于E，根据平行线的性质得到∠BEO=∠ACO．根据相似三角形的性质得到$\frac{AC}{BE}$=$\frac{AO}{BO}$．根据已知条件即可得到结论．
解答 证明：（1）∵∠ACM=∠BDM=45°，
∴BD∥AC，
∴△ACO∽△BEO，
∴$\frac{OB}{AO}$=$\frac{BD}{AC}$，
又∵AO=3BO，
∴$\frac{BD}{AC}$=$\frac{1}{3}$，
即AC=3BD；
（2）过B作BE⊥BD交OD于点E，
∵∠ACM=∠BDM=45°，BE⊥BD，
∴∠BED=∠BDM=45°，
∴BE=BD，∠OEB=∠ACO=135°，
∴AC∥BE，
∵BE⊥BD，
∴AC⊥BD，
在△ACO和△BEO中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠ACO=∠BEO}\\{∠AOC=∠BOE}\\{AO=BO}\end{array}\right.$，
∴△ACO≌△BEO，（AAS）
∴AC=BE，
∴AC=BD；
延长AC交DB的延长线于F，如图2，
∵BE∥AC，
∴∠AFD=90°．
∴AC⊥BD；
（3）如图3，过点B作BE∥CA交DO于E，
∴∠BEO=∠ACO．
又∵∠BOE=∠AOC，
∴△BOE∽△AOC．
∴$\frac{AC}{BE}$=$\frac{AO}{BO}$．
又∵AO=kBO，
由（2）的方法易得 BE=BD，
∴$\frac{AC}{BD}=k$．
点评 本题考查了相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，平行线的判定与性质，掌握判定方法是解决问题的关键．
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如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8，D是AB上一动点，过点D作DE⊥AC于点E，DF⊥BC于点F，连接EF，则线段EF的最小值是（ ）| A． | 5 | B． | 4.8 | C． | 4.6 | D． | 4.4 |
如图，已知⊙O的半径为1，A，P，B，C是⊙O上的四个点，∠APC=∠CPB=60°
如图是一个长方体纸盒的展开图，这个纸盒的表面积是108cm2，体积是72cm3．
如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠AOB=60°，AB=AC=2，则弦BC=2$\sqrt{3}$．| A． | 正方形 | B． | 等腰三角形 | C． | 圆 | D． | 等腰梯形 |