Question

【题目】是的平分线上一点，，，、是垂足，连接交于点．

（）若，求证：是等边三角形．

（）若，，求线段的长．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）.

【解析】试题分析：（1）先由角平分的性质得出ED=EC，再结合OE=OE不难证明△ODE≌△OCE，由此得出OD=OC，又因为∠AOB=60°，所以证明△OCD是等边三角形；（2）由（1）△OCD是等腰三角形，OE平分∠AOB得出OE⊥CD，DF=CF，再求出∠DEC的度数为90°，继而得出EF=CD，已知EF求出CD，最后利用勾股定理求出OD即可.

试题解析：

（）∵OE平分∠AOB，ED⊥OA与D，EC⊥OB与C，

∴ED=EC，

再Rt△ODE和Rt△OCE中，

,

∴△ODE≌△OCE（HL），

∴OD=OC，

∴△OCD是等腰三角形，

∵∠AOB=60°，

∴△OCD是等边三角形；

（）

由（1）可知，△OCD是等腰三角形，OE平分∠AOB，

∴OE⊥CD，DF=CF，

∵∠AOB=90°，∠ODE=90°，∠OCE=90°，

∴∠DEC=90°，

∴EF=CD，

∵EF=5，

∴CD=10，

∵在Rt△OCD中，OD2+OC2=CD2，即2OD2 =CD2，

∴OD=5.