Question

5．如图是函数y=ax2+bx+c图象的一部分，图象与x轴的正半轴交于点（3，0），对称抽为x=1．则下列结论：①b²＞4ac；②当-1＜x＜3时，ax²+bx+c＞0；③无论m为何实数，a+b≥m（ma+b）；④若t为方程ax²+bx+c=0的一个根，则-1＜t＜3中正确的有（　　）

• A． 1个
• B． 2个
• C． 3个
• D． 4个

Answer 1

分析 根据函数图象得出抛物线开口向下得到a小于0，且抛物线与x轴交于两个点，得出根的判别式大于0，即选项①正确；对称轴为x=1，图象与x轴的一个交点为（3，0），得出另一个交点是（-1，0），由图象可知当-1＜x＜3时，y＞0，选项②正确；由图象x=1时对应的函数值最大，得出a+b+c≥am²+bm+c，整理得出a+b≥m（ma+b），故选项③正确；由抛物线与x轴的一个交点为A（3，0），根据对称轴为x=1，利用对称性得出另一个交点的横坐标为-1，从而得到t=-1或t=3时，选项④错误，即可得出正确的选项序号．

解答 解：由图象可知：抛物线开口向下，对称轴在y轴右侧，对称轴为x=1，
与y轴交点在正半轴，与x轴有两个交点，
∴a＜0，b＞0，c＞0，b²-4ac＞0，
∴b²＞4ac，选项①正确；
∵对称轴为x=1，图象与x轴的一个交点为（3，0），
∴另一个交点是（-1，0），
由图象可知当-1＜x＜3时，y＞0，
∴ax²+bx+c＞0，选项②正确；
∵当x=1时，函数有最大值，
∴a+b+c≥am²+bm+c，
∴a+b≥m（ma+b），故选项③正确；
∵图象与x轴的一个交点为（3，0），（-1，0）
若t为方程ax²+bx+c=0的一个根，则t=3或-1，故选项④错误，
则正确的序号有①②③三个．
故选C．

点评 此题考查了抛物线图象与系数的关系，其中a由抛物线的开口方向决定，a与b同号对称轴在y轴左边；a与b异号对称轴在y轴右边，c的符合由抛物线与y轴的交点在正半轴或负半轴有关；抛物线与x轴的交点个数决定了根的判别式的正负，此外还要在抛物线图象上找出特殊点对应函数值的正负来进行判断．