Question

14．如图，AC是矩形ABCD的对角线，⊙O是△ABC的内切圆，现将矩形ABCD按如图所示的方式折叠，使点D与点O重合，折痕为FG，点F，G分别在AD，BC上，连结OG，DG，若OG⊥DG，且⊙O的半径长为1，则BC+AB的值2$\sqrt{3}$+4．

Answer 1

分析 设圆0与BC的切点为M，连接OM，由切线的性质可知OM⊥BC，然后证明△OMG≌△GCD，得到OM=GC=1，CD=GM=BC-BM-GC=BC-2．设AB=a，BC=a+2，AC=2a，从而可求得∠ACB=30°，从而得到$\frac{AB}{BC}=\frac{\sqrt{3}}{3}$，故此可求得AB=$\sqrt{3}+1$，则BC=$\sqrt{3}$+3．

解答 解：如图所示：设圆0与BC的切点为M，连接OM．

∵BC是圆O的切线，M为切点，
∴OM⊥BC．
∴∠OMG=∠GCD=90°．
由翻折的性质可知：OG=DG．
∵OG⊥GD，
∴∠OGM+∠DGC=90°．
又∵∠MOG+∠OGM=90°，
∴∠MOG=∠DGC．
在△OMG和△GCD中，$\left\{\begin{array}{l}{∠OMG=∠DCG=90°}\\{∠MOG=∠DGC}\\{OG=DG}\end{array}\right.$，
∴△OMG≌△GCD．
∴OM=GC=1．
CD=GM=BC-BM-GC=BC-2．
∵AB=CD，
∴BC-AB=2．
设AB=a，则BC=a+2．
∵圆O是△ABC的内切圆，
∴AC=AB+BC-2r．
∴AC=2a．
∴$\frac{AB}{AC}=\frac{1}{2}$．
∴∠ACB=30°．
∴$\frac{AB}{BC}=\frac{\sqrt{3}}{3}$，即$\frac{a}{a+2}=\frac{\sqrt{3}}{3}$．
解得：a=$\sqrt{3}+1$．
∴AB=$\sqrt{3}+1$，BC=AB+2=$\sqrt{3}+3$．
所有AB+BC=4$+2\sqrt{3}$．
故答案为：4$+2\sqrt{3}$．

点评 本题主要考查的是切线的性质、翻折的性质、全等三角形的性质和判定、特殊锐角三角函数值，求得∠ACB=30°是解题得关键．