Question

13．已知a、b、c为整数，且a²+b²+c²-ab-bc-ac=19，那么a+b+c的最小值等于（　　）

• A． 11
• B． 10
• C． 8
• D． 6

Answer 1

分析 利用配方法得到（a-b）²+（b-c）²+（c-a）²=38，由于0²=0，1²=1，2²=4，3²=9，4²=16，5²=25，6²=36，则2²+3²+5²=38，于是可判断a-b、b-c、c-a为±2，±3，±5中的任意一组值，然后分别列方程组求出a、b、c的值，再判断a+b+c的最小值．

解答 解：∵a²+b²+c²-ab-bc-ac=19，
∴2a²+2b²+2c²-2ab-2bc-2ac=38，
∴（a-b）²+（b-c）²+（c-a）²=38，
∵a、b、c为整数，
∴a-b、b-c、c-a为整数，
而0²=0，1²=1，2²=4，3²=9，4²=16，5²=25，6²=36，
∴2²+3²+5²=38，
∴a-b、b-c、c-a为±2，±3，±5中的任意一组值，
若a-b=2，b-c=3，c-a=5，解得a=6，b=4，c=1，则a+b+c=11，
若a-b=-2，b-c=-3，c-a=5，解得a=1，b=3，c=6，则a+b+c=10，
通过计算可得+b+c的最小值为10．
故选B．

点评 本题考查了因式分解的应用：利用因式分解解决求值问题；利用因式分解解决证明问题；利用因式分解简化计算问题．也考查了非负数的性质．