Question

5．如图，AB=CD=3，∠A=75°，∠B=45°，∠D=15°，则线段AD的长为（　　）

• A． 4
• B． 2$\sqrt{5}$
• C． 2$\sqrt{6}$
• D． 2$\sqrt{7}$

Answer 1

分析 过点D作DE∥AB，且DE=AB，连接CE、BE，则四边形ABED是平行四边形，得出DE=AB=3，AD=BE，∠ABE=∠ADE=105°，∠BED=∠A=75°，证明∠CDE=90°，得出CE=$\sqrt{2}$CD=3$\sqrt{2}$，证出∠BCE=90°，由三角函数求出BE，即可得出AD的长．

解答 解：过点D作DE∥AB，且DE=AB，连接CE、BE，如图所示：
则四边形ABED是平行四边形，∠A+∠ADE=180°，
∴DE=AB=3，AD=BE，∠ABE=∠ADE=180°-75°=105°，∠BED=∠A=75°，
∵∠ADC=15°，
∴∠CDE=90°，
∵AB=CD，
∴DE=CD，
∴CE=$\sqrt{2}$CD=3$\sqrt{2}$，
∵∠ABC=45°，
∴∠CBE=60°，
∴∠BCD=135°，
∴∠BCE=90°，
∴BE=$\frac{3\sqrt{2}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}$=2$\sqrt{6}$，
∴AD=BE=2$\sqrt{6}$；
故选：C．

点评 本题考查了平行四边形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、三角函数等知识；本题综合性强，有一定难度．