Question

8．如图，已知A（-4，2），B（n，-4）是一次函数y₁=kx+b的图象与反比例函数y=$\frac{m}{x}$的图象的两个交点；
（1）求反比例函数和一次函数的关系式；
（2）在反比例函数中，当y＞-4时，求x的取值范围；并求当-2＜x＜-1时，y的范围；
（3）根据图象直接写出不等式kx+b-$\frac{m}{x}$≥0的解集；
（4）在x轴上是否存在点Q使得△OAQ是等腰三角形，写出点Q的坐标；
（5）反向延长OA交反比例函数于点C，反向延长OB交反比例函数于点D，则四边形ABCD是什么四边形？不必证明；
（6）在双曲线上有一点M的横坐标为-1，连接MA、OM，求出△OAM的面积．

Answer 1

分析 （1）先把AB两点代入反比例函数的解析式求出m、n的值，再代入一次函数的解析式即可；
（2）直接根据一次函数与反比例函数在坐标系中的图象即可得出结论；
（3）直接根据函数的图象即可得出结论；
（4）分OA=QA，OA=OQ及QA=OQ三种情况进行讨论；
（5）直接根据平行四边形的判定定理即可得出结论；
（6）先求出M的坐标，点M作ME⊥y轴于点E，AD⊥y轴于点D，AF⊥x轴于点F，根据S_△OAM=S_梯形ADEM+S_矩形AFOD-S_△MEO-S_△AOF即可得出结论．

解答 解：（1）∵点A（-4，2）和点B（n，-4）都在反比例函数y=$\frac{m}{x}$的图象上，
∴$\left\{\begin{array}{l}2=\frac{m}{-4}\\-4=\frac{m}{n}\end{array}\right.$，
解得 $\left\{\begin{array}{l}m=-8\\ n=2\end{array}\right.$．
又由点A（-4，2）和点B（2，-4）都在一次函数y=kx+b的图象上，
∴$\left\{\begin{array}{l}-4k+b=2\\ 2k+b=-4\end{array}\right.$，
解得 $\left\{\begin{array}{l}k=-1\\ b=-2\end{array}\right.$．
∴反比例函数的解析式为y=-$\frac{8}{x}$，一次函数的解析式为y=-x-2；
（2）由图象可知，当y＞-4时，0＜x＜2或x＜0；
当-2＜x＜-1时，4＜y＜8；

（3）∵kx+b-$\frac{m}{x}$≥0，
∴kx+b≥$\frac{m}{x}$，
由函数图象可知，当0＜x≤2或x≤-4时，kx+b-$\frac{m}{x}$≥0；

（4）∵A（-4，2），
∴OA=$\sqrt{{4}^{2}+{2}^{2}}$=2$\sqrt{5}$．
如图所示，当OA=QA时，过点A作AD⊥x轴于点D，则OD=QD，
∵A（-4，2），
∴Q₁（-8，0）；
当OA=OQ时，
∵A（-4，2），
∴OA=$\sqrt{（-4）^{2}+{2}^{2}}$=2$\sqrt{5}$
∴Q₂（2$\sqrt{5}$，0），Q₃（-2$\sqrt{5}$，0）；
当QA=OQ时，设Q（x，0），则$\sqrt{（-4-x）^{2}+{2}^{2}}$=-x，解得x=-$\frac{5}{2}$
．∴Q₄（-$\frac{5}{2}$，0）．
综上所示，Q₁（-8，0），Q₂（2$\sqrt{5}$，0），Q₃（-2$\sqrt{5}$，0），Q₄（-$\frac{5}{2}$，0）；

（5）∵反比例函数图象上的点关于原点O对称，
∴OA=OC，OB=OD，
∴四边形ABCD是平行四边形；

（6）如图，
∵反比例函数的解析式为y=-$\frac{8}{x}$，
∴当x=-1时，y=8，即M（-1，8）．
过点M作ME⊥y轴于点E，AD⊥y轴于点D，AF⊥x轴于点F，
则S_△OAM=S_梯形ADEM+S_矩形AFOD-S_△MEO-S_△AOF
=$\frac{1}{2}$（1+4）×6+4×2-$\frac{1}{2}$×1×6-$\frac{1}{2}$×4×2
=15+8-3-4
=16．

点评 本题考查的是反比例函数综合题，涉及到反比例函数与一次函数的交点问题，三角形的面积等知识，在解答（4）时要注意进行分类讨论．