Question

5．如图，在?ABCD中，BC=12cm，∠ABC=60°，AC⊥AB，O是AC的中点，点E，F分别从点O出发，沿射线OA和OC方向移动，速度都是每秒1cm．
（1）试说明在整个运动过程中，四边形BEDF始终是平行四边形；
（2）设点E和点F同时运动的时间为t，当t为何值时，四边形BEDF是矩形？（直接写出结果，不必说明理由）

Answer 1

分析 （1）连接BD．只要证明四边形BEDF的对角线互相平分即可．
（2）解直角三角形求出BO的长，根据对角线相等的平行四边形是矩形，列出方程即可解决问题．

解答 （1）证明：连接BD．
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BD与AC互相平分，点O是BD与AC的交点，
∵OE=OF=t，OB=OD，
∴四边形BEDF始终是平行四边形．

（2）在Rt△ABC中，∵∠BAC=90°，∠ABC=60°，BC=12，
∴∠ACB=30°，AB=$\frac{1}{2}$BC=6，AC=$\sqrt{3}$AB=6$\sqrt{3}$，
∴OA=OC=3$\sqrt{3}$，
∴BO=$\sqrt{A{B}^{2}+A{O}^{2}}$=$\sqrt{{6}^{2}+（3\sqrt{3}）^{2}}$=3$\sqrt{7}$，
∵当EF=BD时，四边形BEDF是矩形，
∴OE=OB，
∴t=3$\sqrt{7}$时，四边形BEDF是矩形．

点评 本题考查矩形的判定和性质．平行四边形的判定和性质、勾股定理、直角三角形30度角性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识，属于中考常考题型．