题目内容

3．问题背景：在△ABC中，AB、BC、AC三边的长分别为$\sqrt{5}$、$\sqrt{10}$、$\sqrt{13}$，求这个三角形的面积．佳佳同学在解答这道题时，先建立一个正方形网格（每个小正方形的边长为1），再在网格中画出格点△ABC（即△ABC三个顶点都在小正方形的顶点处）．如图①所示，这样不需求△ABC的高，而借用网格就能计算出它的面积．
（1）请你将△ABC的面积直接填写在横线上$\frac{7}{2}$；
（2）在图②中画△DEF，使DE、EF、DF三边的长分别为$\sqrt{2}$、$\sqrt{8}$、$\sqrt{10}$，并判断这个三角形的形状，说明理由．

分析 （1）用一个矩形的面积分别减去三个三角形的面积可求出△ABC的面积；
（2）利用勾股定理和网格特点分别画出△DEF，然后根据勾股定理的逆定理证明此三角形为直角三角形．

解答 解：（1）△ABC的面积=3×3-$\frac{1}{2}$×1×3-$\frac{1}{2}$×2×1-$\frac{1}{2}$×2×3=$\frac{7}{2}$；
故答案为$\frac{7}{2}$；
（2）如图2，△DEF为所作，
△DEF为直角三角形．理由如下：
∵DE=$\sqrt{2}$，EF=$\sqrt{8}$，DF=$\sqrt{10}$，
∴DE2+EF2=DF2，
∴△DEF为直角三角形．

点评 本题考查了作图-复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了勾股定理的逆定理．

练习册系列答案
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