Question

16．某中学课外兴趣活动小组准备围建一个矩形苗圃园，其中一边靠墙，另外三边周长为30米的篱笆围成．已知墙长为20米（如图所示），设这个苗圃园垂直于墙的一边长为x米
（1）若苗圃园的面积为108平方米，求x．
（2）若平行于墙的一边长不小于8米，这个苗圃园的面积有最大值和最小值吗？如果有，求出最大值和最小值；如果没有，请说明理由．
（3）当这个苗圃园的面积不小于72平方米时，直接写出x的取值范围．

Answer 1

分析 （1）根据题意可以得到关于x的方程，从而可以求得x的值；
（2）根据题意可得到面积与平行于墙的一边长的函数关系式，从而可以解答本题；
（3）根据题意可以得到相应的不等式，从而可以解答本题．

解答 解：（1）由题意可得，
x（30-2x）=108，
解得，x₁=6，x₂=9，
当x=6时，30-2x=18＜20，
当x=9时，30-2x=12＜20，
即x的值是6或9；
（2）设矩形的面积为y平方米，平行于墙的一边长为a米，
y=a（$\frac{30-a}{2}$）=-$\frac{1}{2}（a-15）^{2}+\frac{225}{2}$，
∵8≤a≤20，
∴当a=15时，y取得最大值，此时y=$\frac{225}{2}$，
当a=8时，y取得最小值，此时y=88，
即平行于墙的一边长不小于8米，这个苗圃园的面积有最大值和最小值，最大值是$\frac{225}{2}$平方米，最小值是88平方米；
（3）由题意可得，
x（30-2x）≥72，
解得，3≤x≤12，
又∵30-2x≤20，
解得，x≥5，
∴当这个苗圃园的面积不小于72平方米时，x的取值范围是5≤x≤12．

点评 本题考查二次函数的应用、一元二次方程的应用、解不等式，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．