Question

16．如图，△ABC是等腰三角形，AB=AC．
（1）实践与操作：利用尺规按下列要求作图，并在图中标明相应的字母（保留作图痕迹，不写作法）．
①以AB为直径作图，圆心为O，⊙O与BC、AC分别交于点D、E；
②连接ED，作∠EDC的平分线，与AC交于点F．
（2）综合与运用：在你所作的图中，若AE=7，BC=6，则：
①FD与⊙O的位置关系是相切，并加以证明．
②线段AC的长为9．

Answer 1

分析 （1）①作AB的中垂线找到AB中点O，再作圆即可得；②根据角平分线的作图可得；
（2）根据等腰三角形的性质可知AD⊥BC、BD=CD=DE，由∠EDF=∠CDF知DF⊥AC，根据OD为△ABC中位线可得OD⊥DF，得证；②设⊙O的半径为r，得出AC=2r、CF=r-$\frac{7}{2}$、CD=3，证△DFC∽△ADC得$\frac{CF}{CD}$=$\frac{CD}{CA}$，据此求得r的值即可得出答案．

解答 解：（1）①如图，⊙O即为所求；
②DF即为所求；


（2）①相切，
如图，连接OD、AD，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，即AD⊥BC，
又∵AB=AC，
∴BD=CD，∠BAD=∠CAD，
∴BD=DE，
∴DE=DC，
∵∠EDF=∠CDF，
∴DF⊥AC，
∵AO=BO，
∴OD是△ABC的中位线，
∴OD∥AC，
∴OD⊥DF，即DF为⊙O的切线，
故答案为：相切；
②设⊙O的半径为r，则AB=AC=2r，EC=AC-AE=2r-7，
∵DE=DC，且∠EDF=∠CDF，
∴CF=$\frac{1}{2}$EC=r-$\frac{7}{2}$，
∵BC=6，
∴BD=DE=DC=3，
∵∠DFC=∠ADC=90°，∠C=∠C，
∴△DFC∽△ADC，
∴$\frac{CF}{CD}$=$\frac{CD}{CA}$，即$\frac{r-\frac{7}{2}}{3}$=$\frac{3}{2r}$，
解得：r=-1（舍）或r=$\frac{9}{2}$，
∴AC=2r=9，
故答案为：9

点评 本题主要考查作图-复杂作图，熟练掌握基本的尺规作图和等腰三角形的性质、圆周角定理、相似三角形的判定与性质是解题的关键．