Question

14．已知：如图，在△ABC中，AB=AC，AD是△ABC的一条角平分线，AN是△ABC外角∠CAM的平分线，CE⊥AN，垂足为点E．
（1）求证：四边形ADCE为矩形；
（2）连接DE，交AC于点F，请判断四边形ABDE的形状，并证明；
（3）线段DF与AB有怎样的关系？请直接写出你的结论．

Answer 1

分析 （1）由在△ABC中，AB=AC，AD是BC边的中线，可得AD⊥BC，∠BAD=∠CAD，又由AN为△ABC的外角∠CAM的平分线，可得∠DAE=90°，又由CE⊥AN，即可证得：四边形ADCE为矩形；
（2）利用（1）中矩形的对角线相等推知：AC=DE；结合已知条件可以推知AB∥DE，又AE=BD，则易判定四边形ABDE是平行四边形；
（3）由四边形ADCE为矩形，可得AF=CF，又由AD是BC边的中线，即可得DF是△ABC的中位线，则可得DF∥AB，DF=$\frac{1}{2}$AB．

解答 （1）证明：∵在△ABC中，AB=AC，AD是BC边的中线，
∴AD⊥BC，∠BAD=∠CAD，
∴∠ADC=90°，
∵AN为△ABC的外角∠CAM的平分线，
∴∠MAN=∠CAN，
∴∠DAE=90°，
∵CE⊥AN，
∴∠AEC=90°，
∴四边形ADCE为矩形；

（2）四边形ABDE是平行四边形，理由如下：
证明：由（1）知，四边形ADCE为矩形，则AE=CD，AC=DE．
又∵AB=AC，BD=CD，
∴AB=DE，AE=BD，
∴四边形ABDE是平行四边形；

（3）DF∥AB，DF=$\frac{1}{2}$AB．理由：
解：∵四边形ADCE为矩形，
∴AF=CF，
∵BD=CD，
∴DF是△ABC的中位线，
∴DF∥AB，DF=$\frac{1}{2}$AB．

点评 此题考查了矩形的判定与性质、三线合一以及三角形中位线的性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．