题目内容
16．如图，已知正方形ABCD顶点A（0，0），B（4，0），一反比例函数图象过顶点C，动点P以每秒1个单位的速度从点A出发沿AB方向运动，同时动点Q以每秒4个单位的速度从点D出发沿DC-CB-BA方向折线运动，当点P与点Q相遇时均停止运动，设点P的运动时间为t秒．
（1）该反比例函数解析式为y=$\frac{16}{x}$；
（2）若四边形PBQD为平行四边形，求t的值；
（3）若△BDQ的面积为S，求出S与t之间的函数关系式，指出相应t的取值范围，并直接写出S的最大值．
分析 （1）利用待定系数法即可解决问题；
（2）当DQ=PB，列出方程即可解决问题；
（3）分三种情形讨论①当0＜t≤1时，S=$\frac{1}{2}$DQ•CB．②当1＜t≤2时，S=$\frac{1}{2}$•BQ•AD．③当2＜t≤$\frac{12}{5}$时，S=$\frac{1}{2}$•BQ•AD．
解答 解：（1）设反比例函数的解析式为y=$\frac{k}{x}$，
∵反比例函数经过点C（4，4），
∴k=16，
∴反比例函数的解析式为y=$\frac{16}{x}$，
故答案为y=$\frac{16}{x}$．
（2）由题意AP=t，DQ=4t，
∵四边形PBQD是平行四边形，
∴DQ=PB，
∴4t=4-t，
∴t=$\frac{4}{5}$，
∴当t=$\frac{4}{5}$时，四边形PBQD是平行四边形．
（3）当点P与点Q相遇时，t+4t=12，t=$\frac{12}{5}$，
①当0＜t≤1时，
S=$\frac{1}{2}$DQ•CB=$\frac{1}{2}$•4t•4=8t．
②当1＜t≤2时，
S=$\frac{1}{2}$•BQ•AD=$\frac{1}{2}$•（8-4t）•4=16-8t．
③当2＜t≤$\frac{12}{5}$时，
S=$\frac{1}{2}$•BQ•AD=$\frac{1}{2}$•（4t-8）•4=8t-16，
∴S=$\left\{\begin{array}{l}{8t}&{（0＜t≤1）}\\{16-8t}&{（1＜t≤2）}\\{8t-16}&{（2＜t≤\frac{12}{5}）}\end{array}\right.$．
当t=1时，△BDQ的面积最大．
点评 本题考查反比例函数综合题、正方形的性质、平行四边形的判定、三角形的面积等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会用分类讨论的思考思考问题，属于中考压轴题．
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小学生10分钟应用题系列答案
如图，点C、E分别是线段BF、线段CD的中点，AD∥BF．
如图，P是双曲线y=$\frac{6}{x}$（x＞0）上任意一点，作PB⊥x轴于B，PA⊥y轴于A，C是平行四边形OAPB内任意一点，连接CA、CO、CB、CP，则△OCB与△ACP的面积和等于（ ）| A． | 1 | B． | 2 | C． | 3 | D． | 4 |
| A． | -$\frac{1}{4}$ | B． | -4 | C． | 4 | D． | $\frac{1}{4}$ |
如图，已知直线CD、EF相交于点O，OA⊥OB，且OE平分∠AOC，若∠EOC=60°，则∠BOF=30°．