Question

2．如图，正方形ABCD，H为AD中点，AG⊥BH分别交BH、BD、CD于E、F、G．
（1）求证：△ABH≌△DAG；
（2）若AB=2，求EF的长．

Answer 1

分析 （1）根据两角夹边相等的两个三角形全等即可判断．
（2）由DG∥AB，得到$\frac{DG}{AB}=\frac{FG}{AF}$=$\frac{1}{2}$求出AF，再根据面积法求出AE，利用EF=AF-AE即可解决问题．

解答 （1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=AD=DC=BC，∠BAC=∠ADC=90°，
∵AG⊥BH，
∴∠ABH+∠BAE=90°，∠BAE+∠DAG=90°，
∴∠ABH=∠DAG，
在△ABH和△DAG中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠BAH=∠ADC}\\{AB=AD}\\{∠ABH=∠DAG}\end{array}\right.$，
∴△ABH≌△DAG．
（2）∵AB=AD=CD=2，AH=DH=1，
又∵△ABH≌△DAG，
∴AH=DG=1，BH=AG=$\sqrt{A{B}^{2}+A{H}^{2}}$=$\sqrt{5}$，
∵DG∥AB，
∴$\frac{DG}{AB}$=$\frac{FG}{AF}$=$\frac{1}{2}$，
∴AF=$\frac{2}{3}$AG=$\frac{2\sqrt{5}}{3}$，
∵$\frac{1}{2}$•BH•AE=$\frac{1}{2}$•AB•AH，
∴AH=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，
∴EF=AF-AE=$\frac{2\sqrt{5}}{3}$-$\frac{2\sqrt{5}}{5}$=$\frac{4\sqrt{5}}{15}$．

点评 本题考查正方形的性质、全等三角形的判断和性质、平行线分线段成比例定理、勾股定理等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形，利用平行成比例解问题，学会用面积法求直角三角形斜边上的高，属于中考常考题型．