Question

如图，一条螺旋线按以下方式生成：△O₁O₂O₃为等边三角形，边长为1，曲线O₃A₁，A₁A₂，A₂A₃分别以O₁，O₂，O₃为圆心，O₁O₃，O₂A₁，O₃A₂为半径的圆弧，曲线O₃A₁A₂A₃称为螺旋线O₁旋转一圈，以后又以O₁为圆心，O₁O₃为半径画圆弧，交O₂O₁得延长线于A₄，…，等等，假设此螺旋线共绕O₁旋转2圈，则此螺旋线的长度与圆周率π的比值为

 

．

Answer 1

考点：弧长的计算,等边三角形的性质

专题：规律型

分析：当绕O₁旋转第一圈时，即为螺旋线O₃A₁A₂A₃的长度和，所以

2

3

π+2×

2

3

π+3×

2

3

π=4π，当绕O₁旋转第二圈时，螺旋线的长度为4×

2

3

π+5×

2

3

π+6×

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3

π=10π，螺旋线的总长度14π，再除以圆周率π即可．

解答：解：螺旋线O₃A₁A₂A₃的长度为

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π+2×

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3

π+3×

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3

π=4π，
当绕O₁旋转第二圈时，螺旋线为4×

2

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π+5×

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3

π+6×

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π=10π，
则螺旋线的总长度14π，
∴此螺旋线的长度与圆周率π的比值为14π：π=14．
故答案为14．

点评：本题主要考查了弧长的计算．解题的关键是归纳总结得到各段弧长，此题锻炼了学生会经过观察归纳总结得出结论的能力．