Question

15．△ABC的两个顶点分别为B（0，0），C（4，0），顶点A在直线l：$y=-\frac{1}{2}x+3$上，
（1）当△ABC是以BC为底的等腰三角形时，写出点A的坐标；
（2）当△ABC的面积为6时，求点A的坐标；
（3）在直线l上是否存在点A，使△ABC为Rt△？若存在，求出点A的坐标，若不存在说明理由．

Answer 1

分析 （1）作出线段BC的垂直平分线，与直线l交于点A，此时△ABC是以BC为底的等腰三角形，求出A坐标即可；
（2）由△ABC面积为6，根据BC的长，利用三角形面积公式求出A纵坐标，即可确定出A坐标；
（3）分三种情况考虑：∠ABC为直角；∠ACB为直角；∠BAC为直角，分别求出A坐标即可．

解答 解：（1）作出线段BC的垂直平分线，与直线l交于点A，连接BA，CA，此时△ABC是以BC为底的等腰三角形，如图1所示，

∵B（0，0），C（4，0），
∴A横坐标为x=2，
把x=2代入y=-$\frac{1}{2}$x+3，得：y=2，即A（2，2）；
（2）∵△ABC面积为6，且BC=4，
∴$\frac{1}{2}$BC•|y_A纵坐标|=6，即|y_A纵坐标|=3，
把y=3代入y=-$\frac{1}{2}$x+3得：x=0；把y=-3代y=-$\frac{1}{2}$x+3得：x=12，
则A（0，3）或（12，-3）；
（3）如图2所示，

分三种情况考虑：当∠A₁BC=90°时，此时A₁（0，3）；
当∠BA₂C=90°时，作A₂D⊥x轴，设OA=m，A₂D=-$\frac{1}{2}$m+3，DC=4-m，
由△A₂BD∽△CA₂D，得到A₂D²=BD•DC，即（-$\frac{1}{2}$m+3）²=m（4-m），
解得：m=3.6或m=2，此时A₂（3.6，1.2）或（2，2）；
当∠A₃CB=90°时，此时A₃（4，1）．

点评 此题属于一次函数综合题，涉及的知识有：坐标与图形性质，直角三角形的性质，相似三角形的判定与性质，以及一次函数的图象与性质，熟练掌握性质是解本题的关键．