Question

【题目】如图，在的直角三角形中，，是直角边所在直线上的一个动点，连接，将绕点逆时针旋转到，连接，．

（1）如图①，当点恰好在线段上时，请判断线段和的数量关系，并结合图①证明你的结论；

（2）当点不在直线上时，如图②、图③，其他条件不变，（1）中结论是否成立？若成立，请结合图②、图③选择一个给予证明；若不成立，请直接写出新的结论．

Answer 1

【答案】（1），证明见解析；（2）图②、图③结论成立，证明见解析．

【解析】

（1）利用等边三角形的性质以及等腰三角形的判定解答即可；

（2）过点E作EF⊥AB，垂足为F，证得△ADC≌△AEF，结合直角三角形中30度的角所对的直角边是斜边的一半解决问题；

（1）．

证明如下：

∵，，

∴为等边三角形，

∴，．

∵，，

∴，

∴，

∴，

∴．

（2）图②、图③结论成立．

图②证明如下：

如图②，过点作，垂足为．

在中，，

∴，

∴，

∴，

∴．

又，，

∴，

∴

在中，，

∴，

∴，

∴．

∵为等边三角形，，

∴．

图③证明如下：

如图③，过点作，垂足为．

在中，，

∴，

∴，

∴，

∴．

又，，

∴，

∴

在中，，

∴，

∴，

∴．

∵为等边三角形，，

∴．