综合与实践:折纸中的数学动手操作:如图.将矩形ABCD折叠.点B落在AD边上的点B′处.折痕为GH.再将矩形ABCD折叠.点D落在B′H的延长线上.对应点为D′.折痕为B′E.延长GH于点F.O为GE的中点．数学思考:(1)猜想:线段OB′与OD′的数量关系是OB′=OD′．(2)求证:四边形GFEB′为平行四边形,拓展探究: 如图2.将矩形ABCD折叠.点B对应点B′.点D对应� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

5．综合与实践：
折纸中的数学
动手操作：
如图，将矩形ABCD折叠，点B落在AD边上的点B′处，折痕为GH，再将矩形ABCD折叠，点D落在B′H的延长线上，对应点为D′，折痕为B′E，延长GH于点F，O为GE的中点．
数学思考：
（1）猜想：线段OB′与OD′的数量关系是OB′=OD′（不要求说理或证明）．
（2）求证：四边形GFEB′为平行四边形；
拓展探究：
如图2，将矩形ABCD折叠，点B对应点B′，点D对应点为D′，折痕分别为GH、EF，∠BHG=∠DEF，延长FD′交B′H于点P，O为GF的中点，试猜想B′O与OP的数量关系，并说明理由．

分析（1）作辅助线构建平行四边形和直角三角形，先证明平行四边形，再利用直角三角形斜边中线得OB′=OD′；
（2）利用折叠的性质得∠GHB′=∠EB′H，得GF∥B′E，再利用折叠和矩形的直角得∠GB′H=∠B′D′E=90°，得GB′∥EF，则四边形GFEB′为平行四边形；
（3）作辅助线构建平行，证角相等得△GB′O≌△FNO，再利用直角三角形斜边中线等于斜边一半可得结论

解答解：（1）如图1，OB′=OD′，理由是：
连接OF，
由折叠得：∠GB′H=∠B=90°，∠B′D′E=∠D=90°，
∴∠GB′H=∠B′D′E，
∴GB′∥EF，
同理得B′E∥GF，
∴四边形GFEB′是平行四边形，
∴OB′=OF，
则B′、O、F共线，
在Rt△B′D′F中，OD′=$\frac{1}{2}$B′F=OB′，
即OB′=OD′；
（2）如图1，由折叠得：∠GHB=∠GHB′=$\frac{1}{2}$∠B′HB，
∠DB′E=∠D′B′E=$\frac{1}{2}$∠D′B′D，
∵四边形ABCD为矩形，
∴AD∥BC，
∴∠B′HB=′DB′D′，
∴∠GHB′=∠EB′H，
∴GF∥B′E，
∵∠GB′H=∠B=90°，∠B′D′E=∠D=90°，
∴∠GB′H=∠B′D′E，
∴GB′∥EF，
∴四边形GB′EF为平行四边形；
拓展探究：
如图2，OB′=OP，理由是：
延长HB′交AD于M，延长B′O交D′P于点N，
∠B′HB=2∠GHB，∠DED′=2∠DEF，∠GHB=∠DEF，
∴∠B′HB=∠DED′，
∵AD∥BC，∠DMH=∠B′HB，
∴∠DED′=∠DMH，
∴ED′∥MH，
∴∠B′PN=∠ED′F=90°，
∴∠GB′P=∠B′PN，
∴GB′∥PD′，
∴∠B′GO=∠NFO，
∵∠GOB′=∠FON，GO=OF，
∴△GB′O≌△FNO，
∴B′O=NO，
∴B′O=OP．