Question

11．如图，点A是y轴上的一点，以线段OA为边作第1个正方形，得到对角线OC₁，再以OC₁为边作第2个正方形，得到对角线OC₂，再以OC₂为边作第3个正方形，得到对角线OC₃，再以OC₃为边作第4个正方形，得到对角线OC₄，…，以此类推，得到正方形对角线OC₂₀₁₇，若OA的长度为1，则点C₂₀₁₇的坐标是（2¹⁰⁰⁸，2¹⁰⁰⁸）．

Answer 1

分析 根据C_n点的排布规律，写出部分C_n点的坐标，根据点的坐标的变化找出变化规律“C_8n+1（2⁴ⁿ，2⁴ⁿ），C_8n+2（2⁴ⁿ⁺¹，0），C_8n+3（2⁴ⁿ⁺¹，-2⁴ⁿ⁺¹），C_8n+4（0，-2⁴ⁿ⁺²），C_8n+5（-2⁴ⁿ⁺²，-2⁴ⁿ⁺²），C_4n+6（-2⁴ⁿ⁺³，0），C_4n+7（-2⁴ⁿ⁺³，2⁴ⁿ⁺³），C_8n+8（0，2^4（n+1））”，依次变化规律即可得出结论．

解答 解：观察，发现规律：C₁（1，1），C₂（2，0），C₃（2，-2），C₄（0，-4），C₅（-4，-4），C₆（-8，0），C₇（-8，8），C₈（0，16），C₉（16，16），…，
∴C_8n+1（2⁴ⁿ，2⁴ⁿ），C_8n+2（2⁴ⁿ⁺¹，0），C_8n+3（2⁴ⁿ⁺¹，-2⁴ⁿ⁺¹），C_8n+4（0，-2⁴ⁿ⁺²），C_8n+5（-2⁴ⁿ⁺²，-2⁴ⁿ⁺²），C_4n+6（-2⁴ⁿ⁺³，0），C_4n+7（-2⁴ⁿ⁺³，2⁴ⁿ⁺³），C_8n+8（0，2^4（n+1））（n为自然数）．
∵2017=252×8+1，
∴点C₂₀₁₇的坐标是（2^4×252，2^4×252）=（2¹⁰⁰⁸，2¹⁰⁰⁸）．
故答案为：（2¹⁰⁰⁸，2¹⁰⁰⁸）．

点评 本题考查了规律型中的点的坐标变化，解题的关键是找出规律“C_8n+1（2⁴ⁿ，2⁴ⁿ），C_8n+2（2⁴ⁿ⁺¹，0），C_8n+3（2⁴ⁿ⁺¹，-2⁴ⁿ⁺¹），C_8n+4（0，-2⁴ⁿ⁺²），C_8n+5（-2⁴ⁿ⁺²，-2⁴ⁿ⁺²），C_4n+6（-2⁴ⁿ⁺³，0），C_4n+7（-2⁴ⁿ⁺³，2⁴ⁿ⁺³），C_8n+8（0，2^4（n+1））”．本题属于中档题，难度不大，解决该题型题目时，列出部分点C_n的坐标，根据坐标的变化找出变化规律是关键．