Question

14．如图，直线AB与反比例函数y=$\frac{m}{x}$的图象交于A（1，4），B（4，n）两点．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）是否存在x轴上的一个动点P，使PA+PB最小，若存在求出P点坐标，若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）把A点坐标代入y=$\frac{m}{x}$中求出m即可得到反比例函数解析式；
（2）把B（4，n）代入y=$\frac{4}{x}$求出n得到B（4，1），作点A关于x轴的对称点A′，如图，则A′（1，-4），连结A′B交x轴于P，利用两点之间线段最短得到此时PA+PB的值最小，接着利用待定系数法求出直线A′B的解析式，然后计算函数值为0时的自变量的值可得P点坐标．

解答 解：（1）把A（1，4）代入y=$\frac{m}{x}$得m=1×4=4，
所以反比例函数解析式为y=$\frac{4}{x}$；
（2）存在．
把B（4，n）代入y=$\frac{4}{x}$得4n=4，解得n=1，
所以B（4，1），
作点A关于x轴的对称点A′，如图，则A′（1，-4），连结A′B交x轴于P，则PA=PA′，
所以PA+PB=PA′+PB=A′B，
所以此时PA+PB的值最小，
设直线A′B的解析式为y=kx+b，
把A′（1，-4），B（4，1）代入得$\left\{\begin{array}{l}{k+b=-4}\\{4k+b=1}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{k=\frac{5}{3}}\\{b=-\frac{17}{3}}\end{array}\right.$，
所以直线A′B的解析式为y=$\frac{5}{3}$x-$\frac{17}{3}$，
当y=0时，$\frac{5}{3}$x-$\frac{17}{3}$=0，解得x=$\frac{17}{5}$，
所以P点坐标为（$\frac{17}{5}$，0）．

点评 本题考查了用待定系数法求反比例函数的解析式：先设出含有待定系数的反比例函数解析式y=xk（k为常数，k≠0）；再把已知条件（自变量与函数的对应值）带入解析式，得到待定系数的方程；接着解方程，求出待定系数；然后写出解析式．也考查了反比例函数的性质．