Question

13．如图矩形ABCD中，AD=5，AB=6，点E为DC上一个动点，把△ADE沿AE折叠，点D的对应点为F，当△DFC是等腰三角形时，DE的长为$\frac{5}{3}$或$\frac{15}{4}$或6．

Answer 1

分析 分三种情况进行讨论：当DF=CF时，△DFC是等腰三角形；当DC=DF=6时，△DFC是等腰三角形；当DC=FC时，△DFC是等腰三角形，分别根据勾股定理、相似三角形的性质以及轴对称的性质进行计算求解．

解答 解：分三种情况：
①如图，当DF=CF时，△DFC是等腰三角形，

过F作FG⊥CD于G，交AB于H，则FH⊥AB，
∵DG=$\frac{1}{2}$CD=AH=3，AF=AD=5，
∴Rt△AFH中，HF=4，
∴GF=GH-FH=1，
设DE=FE=x，则EG=3-x，
∵Rt△EFG中，（3-x）²+1²=x²，
解得x=$\frac{5}{3}$，
∴DE的长为$\frac{5}{3}$；
②如图，当DC=DF=6时，△DFC是等腰三角形，

由折叠可得，AE⊥DF，DO=$\frac{1}{2}$DF=3，
∴Rt△AOD中，AO=4，
∵∠ADE=90°，
∴∠ODE=∠OAD，
又∵∠DOE=∠AO90°，
∴△DOE∽△AOD，
∴$\frac{DE}{AD}$=$\frac{DO}{AO}$，即$\frac{DE}{5}$=$\frac{3}{4}$，
解得DE=$\frac{15}{4}$；
③如图，当DC=FC时，△DFC是等腰三角形，

∴点C在DF的垂直平分线上，
又∵AE垂直平分DF，
∴点E与点C重合，
∴DE=DC=6，
综上所述，DE的长为$\frac{5}{3}$或$\frac{15}{4}$或6．
故答案为：$\frac{5}{3}$或$\frac{15}{4}$或6．

点评 本题主要考查了折叠问题，等腰三角形的性质，矩形的性质，相似三角形的判定与性质以及勾股定理的综合应用，解决问题的关键是依据△DFC是等腰三角形进行分类讨论，解题时注意方程思想以及分类思想的运用．