题目内容
6．已知△ABC
（1）①如图1，若P点是∠ABC和∠ACB的角平分线的交点，探究∠P与∠A之间数量关系，并说明理由；
②如图2，若P点是∠ABC和∠ACE的角平分线的交点，∠P与∠A之间数量关系是∠P=$\frac{1}{2}$∠A；
③如图3，若P点是∠CBF和∠BCE的角平分线的交点，∠P与∠A之间数量关系是∠P=90°+$\frac{1}{2}$∠A．
（2）运用所得到的结论，解决下面的问题：
如图4，在△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线相交于点O，连接AO，若∠BOC=130°，则∠BAC=80°，∠BAO=40°．
分析 （1）根据三角形的外角性质、内角和定理、角平分线的定义探求并证明．
（2）求出∠OBC+∠OCB，根据角平分线性质求出∠ABC+∠ACB，根据三角形内角和定理求出∠BAC，即可求出答案．
解答 解：（1）①如图1：∠P=90°+$\frac{1}{2}$∠A；
理由：∵BP平分∠ABC，CP平分∠ACB，
∴∠PBC=$\frac{1}{2}$∠ABC，∠BCP=$\frac{1}{2}$∠ACB．
∵∠P=180°-∠PBC-∠BCP，
∴∠P=180°-$\frac{1}{2}$∠ABC-$\frac{1}{2}$∠ACB
=180°-$\frac{1}{2}$（∠ABC+∠ACB）
=180°-$\frac{1}{2}$（180°-∠A）
=90°-$\frac{1}{2}$∠A．
②如图2：∠P=$\frac{1}{2}$∠A；
③如图3：∠P=90°+$\frac{1}{2}$∠A；
故答案为：∠P=$\frac{1}{2}$∠A，∠P=90°+$\frac{1}{2}$∠A；
（2）∵BE、CF分别为∠ABC与∠ACB的角平分线，
∴OA是∠BAC的角平分线，
∴∠BAO=$\frac{1}{2}$∠BAC，
∵∠BOC=130°，
∴∠OBC+∠OCB=180°-130°=50°，
∵BE、CF分别为∠ABC与∠ACB的角平分线，
∴∠ABC=2∠OBC，∠ACB=2∠OCB，
∴∠ABC+∠ACB=2×50°=100°，
∴∠BAC=180°-（∠ABC+∠ACB）=80°，
∴∠BAO=$\frac{1}{2}$∠BAC=40°，
故答案为：80，40．
点评 本题考查了角平分线性质，三角形内角和定理的应用，此题是一道比较典型的题目，难度适中，注意：角平分线上的点到角的两边的距离相等．
天天向上一本好卷系列答案
小学生10分钟应用题系列答案| A． | x2=21 | B． | $\frac{1}{2}$x（x-1）=21 | C． | $\frac{1}{2}$x2=21 | D． | x（x-1）=21 |
如图，过圆心O的直线PC垂直弦AB于点D，并且与⊙O交于C、E两点．
