题目内容
14．如图1，在四边形ABCD的AB边上任取一点E（点E不与点A、点B重合，分别连接ED，EC，可以把四边形ABCD分成3个三角形．如果其中有2个三角形相似，我们就把点E叫做四边形ABCD的AB边上的相似点；如果这3个三角形都相似，我们就把点E叫做四边形ABCD的AB边上的强相似点．（1）若图1中，∠A=∠B=∠DEC=50°，证明点E是四边形ABCD的AB边上的相似点．
（2）①如图2，画出矩形ABCD的AB边上的一个强相似点．（要求：画图工具不限，不写画法，保留画图痕迹或有必要的说明）
②对于任意的一个矩形，是否一定存在强相似点？如果一定存在，请说明理由；如果不一定存在，请举出反例．
（3）如图3，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD＜BC，∠B=90°，点E是四边形ABCD的AB边上的一个强相似点，判断AE与BE的数量关系并说明理由．
分析 （1）要证明点E是四边形ABCD的AB边上的相似点，只要证明有一组三角形相似就行，很容易证明△ADE∽△EBC，所以问题得解；
（2）①以CD为直径画弧，取该弧与AB的一个交点即为所求．②不一定存在强相似点，如正方形；
（3）因为点E是梯形ABCD的AB边上的一个强相似点，所以就有相似三角形出现，根据相似三角形的对应线段成比例，可以判断出AE和BE的数量关系，从而可求出解．
解答 解：（1）理由：∵∠A=50°，
∴∠ADE+∠DEA=130°，
∵∠DEC=50°，
∴∠BEC+∠DEA=130°，
∴∠ADE=∠BEC，
∵∠A=∠B，
∴△ADE∽△BEC，
∴点E是四边形ABCD的AB边上的相似点；
（2）①以CD为直径画弧，取该弧与AB的一个交点即为所求，
如图2所示：连接FC，DF，
∵CD为直径，∴∠DFC=90°，
∵CD∥AB，
∴∠DCF=∠CFB，
∵∠B=90°，
∴△DFC∽△CBF，
同理可得出：△DFC∽△FAD，
②对于任意的一个矩形，不一定存在强相似点，如正方形．
（3）第一种情况：∠A=∠B=∠DEC=90°，∠ADE=∠BEC=∠EDC，
即△ADE∽△BEC∽△EDC，
∵点E是梯形ABCD的边AB上的强相似点，
∴△ADE，△BEC以及△CDE是两两相似的，
∵△ADE是直角三角形，
∴△DEC也是直角三角形，
当∠DEC=90°时，
①∠CDE=∠DEA，
∴DC∥AE，
这与四边形ABCD是梯形相矛盾，不成立；
②∠CDE=∠EDA，
∵∠ECD+∠EDC=90°，∠ADE+∠AED=90°，
∴∠AED=∠ECD，
∵∠AED+∠BEC=90°，∠BEC+∠BCE=90°，
∴∠AED=∠BCE，
∴∠AED=∠BCE=∠ECD，
∴DE平分∠ADC，同理可得，CE平分∠DCB，
如图3，过E作EF⊥DC，
∵AE⊥AD，BE⊥BC，DE平分∠ADC，CE平分∠DCB，
∴AE=FE，BE=FE，
∴AE=BE，
第二种情况：∠A=∠B=∠EDC=90°，∠ADE=∠BCE=∠DCE，
即△ADE∽△BEC∽△DCE．
所以∠AED=∠BEC=∠DEC=60°，
说明AE=$\frac{1}{2}$DE，BE=$\frac{1}{2}$CE，DE=$\frac{1}{2}$CE，
所以AE=$\frac{1}{2}$BE．
综上，AE=BE或AE=$\frac{1}{2}$BE．
点评 本题考查了相似三角形的判定和性质、矩形的性质、梯形的性质以及理解相似点和强相似点的概念，掌握强相似点的概念、正确运用相关的判定定理和性质定理是解题的关键，注意分情况讨论思想的正确运用．
| A． | 4 | B． | 5 | C． | 6 | D． | 8 |
如图，在平面直角坐标系中，直角梯形ABCD的直角顶点D与原点重合，另一直角顶点A在y轴的正半轴上，点B、C的坐标分别为B（12，8）、C（14，0），AD为⊙E的直径．点M、N分别从A、C两点同时出发做匀速运动，其中点M沿AB向终点B运动，速度为每秒1个单位；点N沿CD向终点D运动，速度为每秒3个单位．当这两点中有一点到达自己的终点时，另一点也停止运动．
