Question

1．已知正方形ABCD和等腰Rt△APQ，点P在直线BC上连接CQ交直线AB于M．
（1）若P与B重合，如图（1），则线段CP与BM之间的数量关系为PC=2BM；
（2）若P为线段CB上一点，如图（2），则线段CP与BM是否存在确定的数量关系？若存在，指出这个关系并证明你的结论；若不存在，请说明理由；
（3）若P为CB延长线上一点，按题意完善图（3），并判断CP、BM之间是否存在上述数量关系，请直接写出你的结论（不要求证明）．

Answer 1

分析 （1）根据正方形的性质和等腰直角三角形的性质可证明△CPM≌△QMA，从而得到BM=MA，进而可得到PC=2BM；
（2）过点Q作QF⊥CD，垂足为F，首先证明△ABP≌△QFA，从而可得到QF=AB，AF=BP，进而可知：PC=BF，然后再证明△CBM≌△QFM，得到MB=FM，从而得到PC=2BM；
（3）完善图形如图3所示：过点Q作QE⊥AB，交BA的延长线于点E，首先证明△ABP≌△QEA，从而得到QE=AB，AE=BP，进而可知：PC=BE，然后再证明△CBM≌△QEM，得到MB=EM，故此PC=2BM．

解答 解：（1）PC=2BM．
理由：如图1．

∵四边形ABCD为正方形，△PAQ为等腰直角三角形，
∴BC=QA，∠CBM=∠QAM．
在△CPM和△QMA中，BC=QA$\left\{\begin{array}{l}{∠CBM=∠QAM}\\{∠QMA=∠PMC}\\{BC=QA}\end{array}\right.$．
∴△CPM≌△QMA．
∴BM=MA．
∴PC=2BM．
（2）存在PC=2MB．
理由：如图2所示：过点Q作QF⊥CD，垂足为F．

∵∠PAB+∠BAQ=90°，∠BAQ+∠AQF=90°，
∴∠PAB=∠AQF．
在△ABP和△QFA中，$\left\{\begin{array}{l}{∠PAB=∠AQF}\\{∠PBA=∠QFA}\\{PA=QA}\end{array}\right.$，
∴△ABP≌△QFA．
∴QF=AB，AF=BP．
∴PC=BF．
在△CBM和△QFM中，$\left\{\begin{array}{l}{∠QMF=∠CMB}\\{∠QFM=∠CBM}\\{QF=BC}\end{array}\right.$，
∴△CBM≌△QFM．
∴MB=FM．
∴BF=2BM．
∴PC=2BM．
（3）存在PC=2MB．
理由：完善图形如图3所示：过点Q作QE⊥AB，交BA的延长线于点E．

∵∠PAB+∠QAE=90°，∠BPA+∠PAB=90°，
∴∠QAE=∠BPA．
在△ABP和△QEA中，$\left\{\begin{array}{l}{∠QAE=∠BPA}\\{∠PBA=∠AEQ}\\{PA=QA}\end{array}\right.$
∴△ABP≌△QEA．
∴QE=AB，AE=BP．
∴PC=BE．
在△CBM和△QEM中，$\left\{\begin{array}{l}{∠CMB=∠QME}\\{∠CBM=∠QEM}\\{BC=QE}\end{array}\right.$，
∴△CBM≌△QEM．
∴MB=EM．
∴BF=2BM．
∴PC=2BM．

点评 本题主要考查的是全等三角形的性质判定、正方形的性质、等腰直角三角形的性质，找出图中全等的三角形是解题的关键．