Question

如图，在直角坐标系xOy中，O是坐标原点，点A在x正半轴上，OA=12

3

cm，点B在y轴的正半轴上，OB=12cm，动点P从点O开始沿OA以2

3

cm/s的速度向点A移动，动点Q从点A开始沿AB以4cm/s的速度向点B移动，动点R从点B开始沿BO以2cm/s的速度向点O移动．如果P、Q、R分别从O、A、B同时移动，移动时间为t（0＜t＜6）s．
（1）求∠OAB的度数．
（2）以OB为直径的⊙O与AB交于点M，当t为何值时，PM与⊙O相切？
（3）求出△PQR的面积S随动点移动时间t的函数关系式，并求s的最小值及相应的t值．

Answer 1

考点：圆的综合题

专题：

分析：（1）在Rt△OAB中，已知OA、OB的长，即可求出∠OAB的正切值，由此可得到∠OAB的度数；
（2）连接O′M，当PM与⊙O′相切时，PM、PO同为⊙O′的切线，易证得△OO′P≌△MO′P，则∠OO′P=∠MO′P；在（1）中易得∠OBA=60°，即△O′BM是等边三角形，由此可得到∠BO′M=∠PO′M=∠PO′O=60°；在Rt△OPO′中，根据∠PO′O的度数及OO′的长即可求得OP的长，已知P点的运动速度，即可根据时间=路程÷速度求得t的值；
（3）过Q作QE⊥x轴于E，在Rt△AQE中，可用t表示出AQ的长，进而根据∠OAB的度数表示出QE、AE的长，由S_△PQR=S_△OAB-S_△OPR-S_△APQ-S_△BRQ即可求得S、t的函数关系式；根据所得函数的性质及自变量的取值范围即可求出S的最小值及对应的t的值．

解答：解：（1）在Rt△AOB中：
tan∠OAB=

OB

OA

，
∴∠OAB=30°．

（2）如图，连接O′P，O′M．
当PM与⊙O′相切时，有：
∠PMO′=∠POO′=90°，
△PMO′≌△POO′．
由（1）知∠OBA=60°，
∵O′M=O′B，
∴△O′BM是等边三角形，
∴∠BO′M=60°．
可得∠OO′P=∠MO′P=60°．
∴OP=OO′•tan∠OO′P
=6×tan60°=6

3

．
又∵OP=2

3

t，
∴2

3

t=6

3

，t=3．
即：t=3时，PM与⊙O′相切．

（3）如图，过点Q作QE⊥x于点E．
∵∠BAO=30°，AQ=4t，
∴QE=

1

2

AQ=2t，
AE=AQ•cos∠OAB=4t×

3

2

．
∴OE=OA-AE=12

3

-2

3

t．
∴Q点的坐标为（12

3

-2

3

t，2t），
S_△PQR=S_△OAB-S_△OPR-S_△APQ-S_△BRQ
=

1

2

×12×12

3

-

1

2

×2

3

t×（12

3

-2

3

t）•2t-

1

2

•2t（12

3

-2

3

t），
=6

3

t²-36

3

t+72

3

，
=6

3

（t-3）²+18

3

（0＜t＜6）
当t=3时，S_△PQR最小=18

3

．

点评：此题考查了切线的判定、全等三角形的判定和性质、二次函数的应用以及等腰三角形的判定和性质等知识，题目的综合性较强，对学生的计算能力要求很高，是一道不错的中考压轴题．